Question

12．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数（1、2、1）恰好对应着（a+b）²的展开式a²+2ab+b²的系数；第四行的四个数恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³的系数，根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答：
（1）图中第六行括号里的数字分别是5，10，10，5；（请按从左到右的顺序填写）
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（3）利用上面的规律计算求值：（$\frac{2}{3}$）⁴-4×（$\frac{2}{3}$）³+6×（$\frac{2}{3}$）²-4×$\frac{2}{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）根据“杨辉三角”规律确定出第六行括号里的数字即可；
（2）根据“杨辉三角”中的系数确定出原式展开结果即可；
（3）原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）图中第六行括号里的数字分别为5，10，10，5；
（2）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（3）原式=（-$\frac{2}{3}$）⁴+4×（-$\frac{2}{3}$）³+6×（-$\frac{2}{3}$）²+4×（-$\frac{2}{3}$）+1=（-$\frac{2}{3}$+1）⁴=$\frac{1}{81}$．
故答案为：（1）5，10，10，5；（2）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．