分析 (1)根据待定系数法求得抛物线的解析式为y=(x-1)2=x2-2x+1,得出y′=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1(x≥0)}\\{-{x}^{2}+2x+1(x<0)}\end{array}\right.$,把x=2和x=-3代入即可求得;
(2)由题意可知,函数为y=x2+bx,根据y≤1恒成立得出x2+bx≤1,即b≤$\frac{1}{x}$-x,因为0<x≤1时,y=$\frac{1}{x}$-x的最小值为0,即可求得b的取值范围.
解答 解:(1)∵函数y=ax2+bx+c(a>0)当x=1时,函数有最小值0,
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2,
∵函数图象交y轴于点(0,1),
∴1=a(0-1)2,
∴a=1,
∴y=(x-1)2=x2-2x+1;
∴y′=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1(x≥0)}\\{-{x}^{2}+2x+1(x<0)}\end{array}\right.$,
∴当x=2时,y′=(x-1)2=1;
当x=-3时,y′=-(x-1)2=-16;
(2)由题意可知,函数为y=x2+bx,
∵当0<x≤1时,有y≤1恒成立,
∴x2+bx≤1,
∴b≤$\frac{1}{x}$-x,
∵当0<x≤1时,y=$\frac{1}{x}$-x的最小值为0,
∴b≤0.
点评 本题考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数的解析式,函数的恒等问题,根据题意得出b≤$\frac{1}{x}$-x,是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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