Question

3．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…
（1）计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$；
（2）探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；（用含有n的式子表示）
（3）若$\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+\frac{x}{3×4}+…+\frac{x}{10×11}=\frac{20}{11}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）将$\frac{1}{1×2}，\frac{1}{2×3}，\frac{1}{3×4}$，按照题目规律展开中间两两相加和为0，剩首尾两项计算便可；
（2）同样将$\frac{1}{1×2}、\frac{1}{2×3}、\frac{1}{3×4}、…、\frac{1}{n×（n+1）}$按照题目规律展开，最后中间全部抵消，剩首尾两项$1、-\frac{1}{n+1}$计算可得；
（3）将方程左边提取公因式x后，另一个因式为$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{10×11}$，利用上述规律计算后可化简方程，解方程可得解．

解答 解：（1）原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
=$1-\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$
（2）原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$
（3）由原方程可得：
 $x（\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{10×11}）=\frac{20}{11}$
 $x（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）=\frac{20}{11}$
 $x（1-\frac{1}{11}）=\frac{20}{11}$
  $\frac{10}{11}x=\frac{20}{11}$
 解得  x=2．
故答案为：$\frac{3}{4}$，$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和运用已知规律解方程的运算能力，是一个运用新知识去解决其他问题的好题目．