Question

【题目】在中， ， 记，点为射线上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接.

（1）当为等边三角形时，

① 依题意补全图1；

②的长为________；

（2）如图2，当，且时， 求证：；

（3）设， 当时，直接写出的长. （用含的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②. （2）见解析；（3）.

【解析】

（1）①根据题意补全图形即可；

②根据旋转的性质和对称的性质易证得，利用特殊角的三角函数值即可求得答案；

（2）作于，于，证得四边形是矩形，求得，再证得，求得，再求得，即可证得结论.

（3）设则，证得，求得，再作DM⊥AB，PN⊥DQ，利用面积法求得，继而求得，再证得，求得，根据得，即可求得答案.

（1）解：①补全图形如图所示：

②∵为等边三角形，

∴，，

根据旋转的性质和对称的性质知：，，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，

∵为等边三角形，，

∴，

在中，，

∴，

∴.

（2）作于，于，

∵，

∴，

由题意可知，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，关于点对称，

∴，，

∴，

∴为中点，

∴垂直平分，

∴；

（3）∵，AC⊥BD，

∴，

设则，

∵AC⊥BD，AP⊥AD，

∴∠ACB=∠PAD，

又∵∠ABC=∠PDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

作DM⊥AB，PN⊥DQ，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

又∵∠AB=∠PDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴.