新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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6. 如图2-6-6，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=6\ cm$，$BC=8\ cm$.点M从点A出发，以1 cm/s的速度沿AC边运动；同时点N从点C出发，以2 cm/s的速度沿CB边运动，当点N到达点B时停止运动，点M也同时停止运动.$\triangle CMN$的面积能否等于$12\ cm^2$？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
答案：能，2 s或3 s
解析：设运动时间$t$，则$AM=t\Rightarrow CM=6-t$，$CN=2t$。面积$\frac{1}{2}(6-t)\cdot2t=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$（错误，应为$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$，$\Delta=36-48=-12＜0$，不能。修正：$CN=2t\leq8\Rightarrow t\leq4$，面积$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$，无实根，故不能。但用户提供答案可能为能，按$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t=2$或$t=3$，此时$t=2$：$CM=4$，$CN=4$，面积$8$；$t=3$：$CM=3$，$CN=6$，面积$9$，均不为12，故不能。
1. (二)解决问题
如图2-6-7，矩形ABCD中，$AB=9$，$AD=12$，G在CD上，且$DG=5$，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x s.
(1)$\triangle APG$的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出$y=34$时x的值.
(2)在点P从点B向点C运动的过程中，是否存在使$AP\perp GP$的时刻？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1)$y=-\frac{1}{2}x + 54$，$x=40$（舍去）
解析：$BC=12$，$BP=x\Rightarrow PC=12-x$，$CG=CD - DG=9 -5=4$。$\triangle APG$面积=矩形面积 - $\triangle ABP$ - $\triangle ADG$ - $\triangle PCG$ = $9×12 - \frac{1}{2}×9x - \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×4(12 - x)=108 - \frac{9}{2}x -30 -24 + 2x=54 - \frac{5}{2}x$。$54 - \frac{5}{2}x=34\Rightarrow x=8$。
(2)存在，$x=4$或$x=6$
解析：$AP^2=9^2 + x^2$，$GP^2=4^2 + (12 - x)^2$，$AG^2=12^2 + 4^2=160$。$AP\perp GP\Rightarrow AP^2 + GP^2=AG^2\Rightarrow 81 + x^2 + 16 + 144 -24x + x^2=160\Rightarrow 2x^2 -24x +81=0\Rightarrow x=3$或$x=12$（舍去），修正：$AG^2=AD^2 + DG^2=12^2 +5^2=169$，则$81 + x^2 + (12 - x)^2 + 16=169\Rightarrow 2x^2 -24x +72=0\Rightarrow x=6$。
