伴你学单元达标测试卷八年级数学苏科版
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14. (本题10分)如图,P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.试说明PE、PF和BH的数量关系.
PE+PF=BH
连接AP，
$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
$\frac {1}{2}AC\cdot BH=\frac {1}{2}AB\cdot PE+\frac {1}{2}AC\cdot PF$，
∵AB=AC，
∴BH=PE+PF。
答案：PE+PF=BH
连接AP，
$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
$\frac {1}{2}AC\cdot BH=\frac {1}{2}AB\cdot PE+\frac {1}{2}AC\cdot PF$，
∵AB=AC，
∴BH=PE+PF。
15. (本题12分)如图,在△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,BE⊥AC,垂足为E,M为BC的中点,连接MF,ME.
(1)求证:ME=MF；
(2)若∠ABC=54°,∠ACB=60°,求∠FME的大小.
答案：(1)证明：∵CF⊥AB，M为BC中点，
∴MF=$\frac {1}{2}$BC，
同理ME=$\frac {1}{2}$BC，
∴ME=MF；
(2)∵∠ABC=54°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=66°，
∵MF=MB，ME=MC，
∴∠MBF=∠MFB=54°，∠MCE=∠MEC=60°，
∠BMF=180°-2×54°=72°，∠CME=180°-2×60°=60°，
∠FME=180°-∠BMF-∠CME=180°-72°-60°=48°。
16. (本题12分)在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB的延长线上,且DE=EC.
(1)如图1,当E为AB中点时,求证:CB=2BD；
(2)如图2,若AB=12,AE=2,求CD的长.
答案：(1)证明：取BC中点F，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，E为AB中点，
∴EF⊥BC，EF=$\frac {\sqrt {3}}{2}$AB=$\frac {\sqrt {3}}{2}$BC，
设BC=2a，则BF=FC=a，EF=$\sqrt {3}a$，
∵DE=EC，
设BD=x，则DF=a+x，DC=2a+x，
在Rt△EFC中，EC²=EF²+FC²=3a²+a²=4a²，
在Rt△EFD中，DE²=EF²+DF²=3a²+(a+x)²，
∵DE=EC，
∴3a²+(a+x)²=4a²，
解得x=a，
∴BD=a，CB=2a=2BD；
(2)过E作EF⊥BC于F，
AB=12，AE=2，BE=10，
∠ABC=60°，BF=BE·cos60°=5，EF=BE·sin60°=5$\sqrt {3}$，
FC=BC-BF=12-5=7，
设BD=x，DE=EC，
DF=BD+BF=x+5，DC=BC+BD=12+x，
在Rt△EFC中，EC²=EF²+FC²=75+49=124，
在Rt△EFD中，DE²=EF²+DF²=75+(x+5)²，
75+(x+5)²=124，
(x+5)²=49，x+5=7，x=2，
CD=12+2=14。
