30．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。 (1)　　　 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小； (2)　　　 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠(即原价的90%)。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。 解(1)设该厂应隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管与其它费用 ，平均每天支出的费用为，则 　　 即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。 (2)若厂家利用此优惠条件，则至少35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x) 购买一次面粉，平均每天支出的费用为。 利用单调性可证在上递增。 时取得最小值，即， 该厂应接受此优惠条件。

31．已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2. 　 (Ⅰ)求PC与平面PBD所成的角； 　 (Ⅱ)求点D到平面PAC的距离； 　 (Ⅲ)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？ 　　　　 若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由. 解：　 (Ⅰ)设AC与BD相交于点O，连接PO。 ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。 又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。 ∵BD∩PD=D，　 ∴AC⊥平面PBD。 ∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。 ∵PD=AD=2，则OC=，PC=2。 　 在Rt△POC中，∠POC=90°， ∴ ∴PC与平面PBD所成的角为30° 　(Ⅱ)过D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD， DF平面PBD， ∴AC⊥DF。 　 又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。 在Rt△PDO中，∠PDO=90°， ∴PO.DF=PD.DO。　　 ∴　 (Ⅲ)假设存在E点，使PC⊥平面ADE. 　　　 过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M， 　　　 连接AE、AM. 　　　 由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.　　 ∵PC∥EM，∴AD⊥EM. 　　　 要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE.　　 即使EM⊥AE. 设BM=，则EM=，EB=.　 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3－4 　　　 在Rt△ABM中，∠ABM=90°.　 ∴AM2=4+. 　　　 ∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2.　 ∴－=0. ∵，∴=1. ∴E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.　

32．如图，平面PAD平面ABCD，PAD是正三角形， ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成角。 (1)　　　 求的值； (2)　　　 求二面角P-MC-D的大小； (3)　　　 当AD的长为多少时，点D到平面PMC的距离为2。 解：(1)取AD中点H，则，面PAD平面ABCD， 面ABCD，PC与面ABCD所成的角为。 设AD=a，则，，。　 (2)连结HM，由∽可得：。 ，由三垂线定理得， 是二面角P-MC-D的平面角。 ，。 二面角P-MC-D的平面角为　 由可得：AD=。

33．曲线有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为. (1)求； (2)曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由. 解:f′(x)=3ax2+2bx+c　　 ∵当x=1±时　 f(x)有极小值及极大值 ∴f′(1±)=0　 即1±为3ax2+2bx+c=0两根 ∴b=－3a , c=－6a　 又∵f(x)在x=1处切线的斜率为 (2)假设存在P(x0, y0)，使得f(x)的图象关于P中心对称， 则f(x0+x)+f(x0－x)=2y­0　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即－(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0 化解得 ∵对于任意x∈R等式都成立 ∴x0=1, y0=.易知P(1，)在曲线y=f(x)上. ∴曲线上存在P(1，)使得f(x)的图象关于中心对称

34．已知函数，且函数的图像关于原点对称，其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。 (1)　　　 求的解析式； (2)　　　　　 是否存在区间[a，b]，使得函数g(x)的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由。 解：(1)的图像关于原点对称，恒成立，即恒成立，。， 又的图像在x=3处的切线方程为， 即，据题意得：解得：， 　 (2)由得x=0或。 又，由得，且当或时，，当时。 所以，函数在和上递增，在上递减。 于是，函数在上的极大值和极小值分别为 ，而， 故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间　

36．已知：=(c，0)(c>0),,最小值为1.若动点P同时满足下列条件①②其中③动点P的轨迹C过点B(0,-1). (1)　　 求c的值; (2)　　 求曲线C的方程; (3)　　 过点M(0,2)的直线与曲线C的轨迹交于A,B两点,求的取值范围. 解:(1) , 当时, 的最小值为1,,,.　　　 (2),, 曲线C的方程为. (3)设直线的方程为:.(*) 由得: ,又,. 当k不存在时, =3,所以.　　

37．如图所示，已知A，B为椭圆和双曲线的公共顶点。P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且有，设AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为。 (Ⅰ)求证；； (Ⅱ)设分别为椭圆和双曲线的右焦点， 若 PF2∥QF1　 ，求的值。 解(Ⅰ)：设点P，Q的坐标分别为 则，即 所以 类似地 设O为原点，则 ∵　 ∴， ∴三点O，P，Q共线 ∴，由①②得 (Ⅱ)证明：因点Q在椭圆上，有 由知 即，从而……③ 又点P在双曲线上，有…………④ 由③④解得 因，∴，故 所以 由①得 同理 另一方面 类似地 所以

38．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。 (1)　　　 若数列首项，且满足，求数列的通项公式； (2)　　　 对(1)中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由； (3)　　　 令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。 解(1)而可得 ，，是首项为，公差为的等差数列， ， (2)即： 而　　　 =故可得 存在等差数列,使对一切正整数都成立。 (3)由(2)知1　　 ……… ① ……… ② ①-②得： ，递增 ，且。 满足条件的最小的正整数M的值为6

39．过P(1，0)做曲线的切线，切点为Q1，设Q1在轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为求证： (Ⅰ)数列是等比数列； 　 (Ⅱ)； 　 (Ⅲ) 解：(Ⅰ)若切点是， 则切线方程为 当时，切线过点P(1，0)即得 当时，切线过点即得 ∴数列是首项为，公比为的等比数列. …6分 (Ⅱ) 　 (Ⅲ)记， 则 两式相减

40．已知函数　. (1)求及的值； (2)是否存在自然数，使对一切都成立，若存在，求出自然数的最小值；不存在，说明理由； (3)利用(2)的结论来比较和　的大小． 解(1)；． (2)假设存在自然数,使对一切都成立. 由,得 ，　 当时，不等式显然不成立．　　　　　　 当时，， 当n=1时，显然,　　　　　　　　　　　　　　 当时，=　成立，则 对一切都成立．　 所以存在最小自然数。　　 (3)． 由()，所以，，……，， 相乘得　，∴　　　 成立．