19. 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

       （III）求点E到平面ACD的距离。

（十三）

17.已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

18.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．

19. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

（Ⅱ）设AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小

（十四）

17.在中，已知，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率

19. 在长方体中，已知，

求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

（十五）

17.已知的周长为，且．

（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．

18. 甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率

19. 如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。    （Ⅲ）求三棱锥的体积。

答案

_（十一）

17.解： 由题意，得为锐角，，

    ，

    由正弦定理得 ，   ．

18. （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且

，，

故取出的4个球均为红球的概率是

．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为

．

19. 由平面平面，，得平面，

以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则由题设得

所以

于是

又点不在直线上

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由题设知，所以

又，故四点共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

（十二）

17.解：（Ⅰ）由，得

∴，于是

（Ⅱ）由，得

又∵，∴

由得：

所以

解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

．

19. （I）证明：连结OC

       在中，由已知可得

       而

       即

       平面

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

       异面直线AB与CD所成角

       的大小为

       （III）解：设平面ACD的法向量为则

       令得是平面ACD的一个法向量。

       又

       点E到平面ACD的距离

（十三）

17（Ⅰ）解：．

因此，函数的最小正周期为．

（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为．

解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为

18. （1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

       表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

       则互斥，且，故

       于是．

       解得（舍去）．

       （2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

       则．

       若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．

19. （Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．

设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

则C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线．

（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．          ………12分

（十四）

17.（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，

．

所以．

（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是

，

，

．

．

18. 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

．

3人都参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．

解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

．

3人都没有参加过培训的概率是．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是

19. 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.                        ……2分

       则 ，

       得 .                             ……6分

       设与的夹角为，

       则，    ……10分

        与的夹角大小为， 

       即异面直线与所成角的大小为.                   ……12分

（十五）

17.解：（I）由题意及正弦定理，得，

，

两式相减，得．

（II）由的面积，得，

由余弦定理，得

                            　　，

所以．

18. 解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，（）相互独立．

（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，

．

答：甲第三次试跳才成功的概率为．

（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件．

解法一：，且，，彼此互斥，

．

解法二：．

答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为．

（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功次”为事件，

“乙在两次试跳中成功次”为事件，

事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且，为互斥事件，

所求的概率为

答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为

19. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

       取，显然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为

（Ⅲ）设为平面的法向量，则

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴点到平面的距离为

    ∵， 

     ∴

     ∴

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