高三数学专题讲座（复数）2001年5月10日
1、（2000年）在复平面内，把复数
对应的向量按顺时针方向旋转
，所得向量对应的复数是
（A）
（B）
（C）
（D）
2、（2000年春季）复数
则
在复平面内的对应点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3、（2000年春季）设复数z1=2sin
+icos
在复平面上对应向量
，将按顺时针方向旋转
后得到向量
，对应的复数为Z2=r(cosj+isinj),则tgj=
(A)
(B)
(C)
(D)
4、（2000年上海）设复数
满足
,且
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,
,求和
的值.
5、（1999年）设复数
，求函数
的最大值及对应的的值。
6、（1998年）复数?i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是
（A）
（B）
（C）
（D）
7、（1997年）已知复数
，
，复数
、
在复平面上所对应的点分别为P、Q。证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）
8、（1996年）复数
等于
(A)、1+
i (B)、-1+i (C)、1-i (D)-1-i
9、（1995年）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1, Z2 ,Z3
,O（其中O是原点），已知Z2对应复数Z2=1+i。求Z1和Z2对应的复数。
10、（1994年）如果复数z满足 |z+ i |+ | z-i |=2，那么 | z+i+1 |的最小值是
（A）1 （B）
（C）2 （D）
11、（1994年）已知z=1+i,(1)设w=
,求w的三角形式；
(2)如果
，求实数a、b的值。
12、（1993年）设复数z=cosq+isinq (0<q<p)，w=
，并且|w|=
，argw<
， 求 q
13、（2001年春季）已知
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）设
的辐角为
，求
的值．
14、（2000年上海）复数
15、（2000年上海）已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（2）将(、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
1、B
2、D
3、A
4、［解法一］设
而
又∵
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,
∴
,得
.
∴
. 即
;
,
当
时,有
,即
,得
.
当
时,同理可得
.
［解法二］
,∴
,
得
或
得
.
当时,有,即,得.
当时,同理可得.
5、解:由
由
得
故
当且仅当
时,即
时,上式取等号.
所以当
时,函数
取最大值
6、D
7、解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
8、B
9、解：设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
10、A
11、（1）
（2）
12、
，
或
13、解：（Ⅰ）由 
，
得
． ……4分
因为 
，
，
所以 
． ……6分
（Ⅱ）因为
，
所以 
，而
，所以
，
，同理
，
．
由（Ⅰ）知 
，
即 
，
所以 
的实部为
， ……8分
而
的辐角为
时，复数的实部为
，
所以 
……12分
14、C
15、[解]（1）由题设，
，
于是由
，
…（3分）
因此由
，
得关系式
…（5分）
[解]（2）设点
在直线
上，则其经变换后的点
满足
，
…（7分）
消去
，得
，
故点
的轨迹方程为
…（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为
，
…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴
，
即
，
当
时，方程组
无解，
故这样的直线不存在。 …（16分）
当
时，由
得
，
解得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
…（18分）
[解法二]取直线上一点
，其经变换后的点
仍在该直线上，
∴
，
得
，
…（14分）
故所求直线为
，取直线上一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上。
∴
，
…（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或，
…（18分）
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