一个完整的数学发现过程是：计算猜想证明，其中的证明有两个总体思路：一是证明命题本身称直接证明，二是证明与该命题等价的另一个命题，称间接证明。今天主要说明直接证明

[思路一]由已知条件、定理、公理等推导结论，这种证明思路称综合法，，符号解答略

[思路二]由结论找成立的条件，这种证明思路称分析法，符号，格式为：要证AB₁B₂B₃……B_n   ∵B_n成立  ∴A成立，解答略

说明1：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

说明2：综合法的实质是由因导果，分析法的实质是执果索因

说明3：分析法中仅仅要求只要证的能导出要证的，至于要证的能否导出只要证的不作要求，每一步都能互导时的分析法又称逆证法，只要有一步不能互相导出，则只能是分析法，不是逆证法。（如要证a+b<c+da<b,c<d）

练习：教材P81

[补充习题]

1、数列{a_n}的前项和为S_n，已知a₁=1,a_n+1=S_n，求证数列{}是等比数列，且S_n+1=4a_n

2、设a、b、x、y∈R且a²+b²=1,x²+y²=1，求证|ax+by|≤1

[解答略]

教学反思与作业情况：

第二课时：间接证明

[教学目标]

[教学重点]：了解反证法的思考过程、特点

[教学难点]反证法的思考过程、特点

[教学过程]

证明略

说明1：这种先假设结论不正确，导出矛盾，从而断定假设错误结论正确的方法称反证法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

说明2：反证法最初的由来是根据“眼见为实”的争论而来的：原来人们对“眼见为实，耳听为虚”是深信不疑的，有人对之提出疑义，他的观点是“谁见过自己的曾祖父？”，如果没有，则无祖父、父亲，进而没有自己！出现矛盾的结果，这就是反证法最初的雏形，俗称归谬论。

二、应用

例1、求证：正弦函数没有比2π小的正周期（证明略，见教材例1）

说明1：反证法适用的范围：一般情况下，结论的反面比原结论更具体、更简单的命题，如“不是”、“不可能”、“至多（少）若干个”、“存在”、“唯一”等易用反证法；已知条件很少或由已知推得的结论很少的命题易用反证法；关系不明确或难于直接证明的命题易用反证法。学生探究过程：综合法与分析法。

说明2：反证法不是证明原命题，而是证明另一问题，因此是一种间接证法。

说明3：反证法导出的矛盾导出是与已知法则相矛盾，这种矛盾可分为三类：与已知条件矛盾、与已知的定义（定理、公理）矛盾、与反设得到的结论及临时假设自相矛盾。

练习：教材P83---3,4

例2、定义在实数集上的函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个公共点（证明略）

说明1：反证法应用是注意，反设必须正确。没有正确的反设，一切推理都是没有价值的。正确的反设必须咬文嚼字，思考原命题结论的方方面面，不遗漏任何一种情形。一般根据命题否定的原则，常进行“且与或”、“任意与存在”、“是与非”的互换，其中常用的容易混淆的词语有

原结论词

反设词

原结论词

反设词

是

不是

都是

不都是

并且

或者

如果…则…

既…且…

有

没有

能

不能

存在

不存在

成立

不成立

有限

无穷

大（小）于

不大（小）于

至少有一个

一个也没有

至多有一个

至少有两个

至少有n个

至多有n-1个

至多有n个

至少有n+1个

只有一个

没有或至少有两个

都不是

至少有一个是

说明2：推理过程必须用反设且推理必须正确。没有用反设的推理不是反证法推理

练习：设，求证

证明：假设，则有，从而

  因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。

例3、二次函数f(x)=x²+bx+c,f(sinα)≥0与f(2+cosβ)≤0恒成立,求证：⑴b+c=-1且c≥3。⑵f_max(sinα)=8,求b,c的值

解：⑴由已知f(1)=1+b+c=0,b+c=-1,又f(3)=9-3(1+c)+c=6-2c≤0，c≥3

⑵由(1)，f(x)=x²-(1+c)x+c,设sinα=t∈[-1,1],变为二次函数f(t)在[-1，1]上的最值问题，有

或，第一组无解，第二组的解为c=3,从而c=3,b=-4

    说明：这里f(sinα)不是代入，而是将sinα看作一个量t，随f(t)问题的解决，原问题也得以解决。这种拓宽条件变为另一问题，随另一问题解决，原问题也得以解决的方法称反演法，也是间接证明的一种方法。

2、反证法证明题的步骤：反设――推理归谬――结论

[补充习题]

1、用反证法证明“若x²+5x+6=0，则x=-2或x=-3”时，应假设_____________

2、棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,且AB=BC,CH⊥平面PAB于H。求证：H不是三角形PAB的垂心

3、抛物线C:y=-1上不存在关于直线L:x+y=0对称的两点

4、设数列{a_n}、{b_n}是公比不相等的等比数列，求证数列{ a_n+b_n}不是等比数列

[补充习题答案]

1、假设x≠-2且x≠-3

其他略

[反馈情况]