机密★启用前 【考试时间：5月8日 15:00～17:00】
昆明市2008届高三适应性考试
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 ，共60分）
注意事项：第Ⅰ卷共2页，共12小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数
的定义域为集合A，函数
的定义域为集合B，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知
是第三象限的角，并且sin=
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在复平面内，与复数
对应的点位于
（A）第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限
4．如果
，那么下列不等式中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．设向量
，则“
”是“
”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．过坐标原点且与圆
相切的直线方程为
（A）
（B）
（C）或
（D）或
7．正三角形
的三个顶点在球
的表面上，
，球心到平面的距离为1，则球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
8．在等差数列
和等比数列
中，
，则数列前5项的和
为
（A）5 （B）10 （C）20 （D）40
9．已知函数
的图象为
，则下列命题中
①函数
的周期为
；
②函数在区间
的最小值为
；
③图象关于直线
对称； ④图象关于点
对称.
正确的命题个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10．某学校在一次数学基础测试统计中, 所有学生成绩服从正态分布
（单位：分），现任选一名学生, 该生成绩在
分~104分内的概率是
（A）
（B） 
（C）
（D）
11．我省某电力部门有5名电力技术员
、
、
、
、
和4名电力工程师
、
、
、
，现从中选派2名技术员和1名工程师支援某省今年年初遭受的严重雪灾灾后电力修复工作, 如果、两名技术员只能同时选派或同时不选派，技术员和工程师不能同时选派，则不同的选派方案有
（A）16种 （B）15种 （C） 14种 （D） 13种
12．路灯距地面
, 一身高
的人沿穿过灯下的直路以
的速度自O处按图示方向行走, 则人影长度变化速率是
（A）
（B）
（C）
（D）
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昆明市2008届高三适应性考试
理科数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：第Ⅱ卷 共2页，共10小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接答在答题卡上.
13．函数
的反函数为
，则
.
14．已知
的展开式中
项的系数为3，则实数
的值为 ．（用数字作答）
15．已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为
.
16．棱长为1的正方体
中，点
、
、分别是表面
、
、
的中心，给出下列结论：
①
与
是异面直线；
②
平面；
③平面
∥平面
；
④过、、的平面截该正方体所得截面是边长为
的等边三角形.
以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
表示该三角形的面积，且
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求b的值.
18．（本小题满分12分）
在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, 
、两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, 队队员是
队队员是
按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A队、B队最后所得总分分别为
、
, 且
.
（Ⅰ）求A队得分为2分的概率；
（Ⅱ）求的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
对阵队员
队队员胜
队队员负
对
对
对
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
，
平面
，
是棱
上一点，
是
的中点，
平面
，
，二面角
的大小为
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
20．（本小题满分12分）
设函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间;
（Ⅱ）若
，且对任意
总有
成立，求实数的取值范围.
21．（本小题满分12分）
设点
，动圆经过点
且和直线
：
相切. 记动圆的圆心的轨迹为曲线
.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设点为直线
上的动点，过点作曲线的切线
（
为切点），
证明：直线
必过定点并指出定点坐标.
22．（本小题满分12分）
在数列中，已知
， 
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
（
为非零常数），问是否存在整数，使得对任意
都有
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
昆明市2008届高三适应性考试
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.2 14.
15.
16.③④
三、解答题（共70分）
17. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
; ………………………… 5分
（Ⅱ）
，
.
………………………………………… 10分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设A队得分为2分的事件为
,
∴
………… 4分
（Ⅱ）
的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;
,
, 
, 
,
0
1
2
3
∴的分布列为:
………… 8分
于是 
, ……………… 9分
∵ 
, ∴ 
……………………… 11分
由于
, 故B队比A队实力较强. ……………………… 12分
19．（本小题满分12分）
解法一
（Ⅰ）连结
，
∵
平面
，平面
∩平面
∴
又∵
是
的中点
∴
是
的中点
∵
∴
，
∴
是二面角
的平面角.
，
在直角三角形
中，
，
………… 6分
（Ⅱ）解：过
作
，垂足为
，连结
，
∵是三角形的中位线，
∴
∵
面
∴
面
∴
，又
∴
平面
为
在平面上的射影，
又∵，由三垂线定理逆定理，得
∴
为二面角
的平面角
∵
，
在直角三角形
中，
，
∴二面角的大小为
. ……………… 12分
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系
，则
, 
，
平面
的法向量为
由
得
,
平面
,
.
所以点是棱的中点.
平面
的法向量
，
，
即
（Ⅱ）设平面
的法向量为
，平面
的法向量
，
，
∵二面角
为锐角
∴二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
的定义域为
.
，令
得:
所以在
内为增函数,在
内为减函数. ……………… 6分
（Ⅱ）由题意得:
, 
为递增函数,
;
为递增函数, 
的取值范围为
.
……………… 12分
21． （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）过点
作
垂直直线
于点
依题意得：
，
所以动点的轨迹为是以
为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线
的方程是
………………………4分
（Ⅱ）设
、
，
，则
由
知，
， ∴
，
又∵切线AQ的方程为：
，注意到
切线AQ的方程可化为：
；
由在切线AQ上， ∴
于是在直线
上
同理，由切线BQ的方程可得：
于是在直线上
所以，直线AB的方程为：，
又把
代入上式得：
∴直线AB的方程为：
∴直线AB必过定点
.
………………………12分
（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为
，则
由知，，得切线方程：
即为：
，又∵在切线上，
所以可得：
，又把代入上式得：
，解之得：
∴
，
故直线AB的方程为：
化简得：
∴直线AB的方程为：
∴直线AB必过定点.
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
①
得：
②
①-②得
，
即有
,
数列
是从第二项为
，公比为
的等比数列
即
， ……………………5分
而
满足该式， . ……………………6分
（Ⅱ）
， 
要使
恒成立
恒成立
即
当
为奇数时，
恒成立，而
的最小值为
………………………………………………10分
当为偶数时，
恒成立，而
的最大值为
或
所以，存在
，使得对任意
都有. ……………………………………12分
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