1.若 ，且，则是（  ）

 A．第一象限角                      B．第二象限角        

C．第三象限角                      D．第四象限角

2. 设平面向量，则（    ）

  A．             B．                   C．(7,7)     D．

3. 已知函数（且），其反函数为.若，则的值是（   ）

  A．-1             B．1            C．2              D．3

4.某学校有教师200人，其中高级教师60人，一级教师100人，二级教师40人，为了了解教师的健康状况，从中抽取40人的一个样本，用分层抽样的方法抽取高级、一级、二级教师的人数分别是（   ）

  A．20，12，8           B．12，20，8           C．15，15，10           D．14，12，14

5.已知是两条不同直线， 是两个不同平面，下列命题中的真命题是 （   ）

   A．如果，那么

     B．如果，那么

C．如果共面，那么∥

D．如果∥,，,那么

6.从原点向圆引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的弧长是（   ）

     A．            B．          C．          D．

7. 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(   ).

Ａ． Ｂ．        

Ｃ．  Ｄ．

8. 在上定义运算：．若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是（  ）

A．            B.          C.          D.

第Ⅱ卷（ 共110分）

注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

题 号

二

                   三

总分

9

10

11

12

13

14

15

  16

  17

  18

  19

  20

分 数

得分

评卷人

9．已知直线与直线平行，则         .

10.的展开式中常数项是            .

11. 已知实数满足不等式组，那么函数的最大值是        ．

12.从5名男生和2名女生中选3人参加英语演讲比赛，则必有女生参加的选法共有         .(用数字作答)

13. 从数列中，顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第项、…，按原来的顺序组成一个新数列，则的通项              ，前5项和等于_________________ ．

14．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左准线上的点，且交双曲线于第一象限一点，若为坐标原点，且垂直平分，则双曲线的离心率=           ．

得分

评卷人

1

15．（本小题满分13分）

在中，角所对的边长分别，且满足.

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若，求的值.

得分

评卷人

16．（本小题满分13分）

某高等学校自愿献血的50位同学的血型分布的情况如下表：

血型

A

B

AB

O

人数

20

10

5

15

（Ⅰ）从这50位同学中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；

（Ⅱ）从这50位同学中随机选出2人，求这2人血型相同的概率.

得分

评卷人

17．（本小题满分13分）

如图，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，且CE=1.

   （Ⅰ）求证：BE∥平面AA₁D₁D；

   （Ⅱ）求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）求证：A₁C⊥平面BDE．

得分

评卷人

18. （本小题满分13分）

设数列的前项和为,且，数列满足，点在直线上，.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

得分

评卷人

19. （本小题满分14分）

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直.

（Ⅰ）若，试求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且函数在上单调递增，试求的范围.

得分

评卷人

20．（本小题满分14分）

已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求的面积范围；

（Ⅲ）设，，求证为定值．

  北京市朝阳区高三统一考试

数学试卷答案(文科)      2009.2

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

C

 B

C

C

A

D

9.    10. 15     11. 4      12.25    13．；   14.

15. （Ⅰ）解：  因为，所以.

所以.即=0.在三角形中，

,所以=0.得.    ………………………………………………6分

（Ⅱ）因为，

所以, ，.

所以.     …………………………………13分

16. 解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，那么，

即这2人血型都为A型的概率是．       …………………………………6分

（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，那么，

所以这2人血型相同的概率是．            …………………………………13分

17．解法（一）

（Ⅰ）证明： 由已知，ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D,

又因为BE平面BB₁C₁C，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．                   ………………………………4分

（Ⅱ）解：如图1，过C作CH⊥ED于H，连接BH．

因为ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

所以BC⊥平面CC₁D₁D，

所以CH是斜线BH在面CC₁D₁D上的射影,

由三垂线定理可知，BH⊥ED．

    所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因为, 所以．

在RtBCH中，,

所以.

故二面角B―ED―C的大小是．       …………………………………9分

（Ⅲ）如图2，连结AC交BD于点O,

因为ABCD―A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，

AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，

由三垂线定理可知，A₁C⊥BD．

连结B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，

所以B₁C 是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影．

    设B₁C交BE于F,

由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，CE=1,

所以，所以BCE∽B₁BC.   

所以∠CBE=∠BB₁C. 

又因为∠CBE+∠B₁BE=90°,  所以∠BB₁C +∠B₁BE=90°,

所以∠B₁FB=90°,    所以B₁C⊥BE.

由三垂线定理可知，A₁C⊥BE，又，

所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………14分

解法（二）建立空间直角坐标系A―xyz，如图,

（Ⅰ）证明：

依题意可知E（2，2，1）,B（2，0，0）, 所以=（0，2，1）．

又因为, 为平面AA₁D₁D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA₁D₁D，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．               …………………………………3分

（Ⅱ）因为E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  设平面BDE的法向量为,

由得  所以

所以．又面,所以为平面CDE的法向量．

因为,所以．

由图可知,二面角的平面角小于,

所以二面角B―ED―C的大小是．   …………………………………9分

（Ⅲ）解：由题意B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），

因为CE=1，则E（2，2，1），

所以,, ．

由，得A₁C⊥BD,

由，得A₁C⊥BE,

又，所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………13分

18.解：（Ⅰ）由可得，两式相减得

.

又 ,所以.

  故是首项为，公比为的等比数列.

  所以.

  由点在直线上，所以.

  则数列是首项为1，公差为2的等差数列.

则.               …………………………………6分

（Ⅱ）因为，所以.

     则,两式相减得：

.

所以.    …………………………………13分

19. 解：（Ⅰ）因为的图象过点，所以

 又，且在点处的切线与直线垂直.

  所以，且，所以所以

  令显然当或时，；

当时，.则函数的单调增区间是，函数的单调减区间是.            …………………………………6分

（Ⅱ）令，得.

  因为，所以当或时，，

 即函数的单调增区间是.

所以

  又由（Ⅰ）知： ，

所以

所以                         …………………………………13分

20.解：（Ⅰ）由题知点的坐标分别为，，

于是直线的斜率为，

所以直线的方程为，即为．…………………3分

（Ⅱ）设两点的坐标分别为，

由得，

所以，．

于是．

点到直线的距离，

所以.

因为且，于是，

所以的面积范围是．         …………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得

，，

于是，（）.

所以．

所以为定值．               ……………………………………………14分