解：（1）由题意，

   为的中点

      即：椭圆方程为

   （2）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积.同理当与轴垂直时，也有四边形的面积. 当直线，均与轴不垂直时，设:，代入消去得： 设所以，， 所以，

，同理所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以. 

综上可知，.故四边形面积的最大值为4，最小值为.

3（汉沽一中2008~2009届月考文20）．（本小题满分14分）

  如图,过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

 (1)设点P分有向线段所成的比为λ，证明

(2)设直线AB的方程是x―2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

20、解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,

代入抛物线方程得： …………… ①       …………………2分

设A、B两点的坐标分别是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程①的两根．

所以

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

 得， 即…………………4分

又点Q是点P关于原点的以称点，

故点Q的坐标是（0，--m）,从而

          =

                =

               =

  =

          =0，

     所以………………………………………………………7分

 (Ⅱ) 由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）．

     由得，

  所以抛物线在点A处切线的斜率为．…………………………9分

 设圆C的方程是，

 则　　……………………………11分

  解之得  …………………13分

    所以圆C的方程是．………………………………………………14分

4（2009年滨海新区五所重点学校联考理21）．（本小题满分14分）

 设上的两点，

已知，，若且椭圆的离心率

短轴长为2，为坐标原点.

     (Ⅰ)求椭圆的方程；

    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

解：（Ⅰ）

椭圆的方程为       ……………………3分

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

由已知得：                                    

    ……7分

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由得……………………8分

又 在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值……………………9分

（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

                            ……………………10分

                  ………………………………………12分    

所以三角形的面积为定值.        ………………………………………14分 

  5（本小题满分14分）

在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

解: (Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有

 .                ………………… 3分

化简并整理，得

.

∴动点的轨迹的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,    …………………………………………………………………………6分

由方程组

   消去，并整理得

设,,则

   ，……………………………………………………… 8分

∴

∴,

,           …………………………………………… 10分

(1)当时，；           …………………………………………… 11分

(2)当时,

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分

解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.

(1)   当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；   …………6分

(2)    当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,   …………7分

由方程组

   消去，并整理得

设,,则

   ，……………………………………………………… 8分

∴

,

,              ………………… 10分

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分

6（汉沽一中2008~2008学年月考理18）．（本小题满分13分）设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．

（I） 求轨迹C的方程；

（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．

18．（本小题满分13分）

解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设

，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲线C的方程为．………………………………………6分

（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．

     故，．……………………………………8分

 ∵M、N在曲线C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由题意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故实数的取值范围是（）．………………………………13分

7（和平区2008年高考数学(文)三模22）. （本小题满分14分）

已知点，点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且

又。

（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）若直线与轨迹C交于A、B两点，AB中点N到直线的距离为，求m的取值范围。

22. （本小题满分14分）

解：（1）设

由得（2分）

∴ ，即（4分）

由

∴   （6分）

（2）由消去得

由N是AB的中点     ∴ （8分）

又由已知

∴

∵ ，    ∴ （11分）

令，则

双

综合      ∴ （14分）

8（和平区2008年高考数学(理)三模22）. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，线段AB与y轴交于点，直线AB的斜率为K，且满足。

（1）证明：对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；

（2）对（1）中的抛物线C，若直线与其交于M、N两点，求

∠MON的取值范围。

22. （本小题满分14分）

解：（1）由已知设①

又设抛物线②

由①②得（2分）

设，则

由弦长公式得

（4分）

∴

而，所以

即抛物线方程为（6分）

（2）设

由

而

则，，，（7分）

不妨设，由于，则

令，则ON到OM的角为，且满足

（9分）

令，则，且
    ∴ （10分）

函数与在上皆为增函数

∴

∴ （12分）

则（13分）

又时，

∴   （14分）

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