1．已知集合，则为 （    ）

A．             B．                C．         D．

2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为        （    ）

       A．－2                   B．4                       C．－6                   D．6

3．函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是    （    ）

  A、       B、         C、        D、 

4．已知向量，(1, )，则的最小值是             （    ）

A．1        B．              C．          D．2

5．已知数列为等差数列，且，则       （    ）

     A．      B．     C．     D．

_{6．下面给出四个命题：}

① 直线与平面内两直线都垂直，则；

② 经过直线有且仅有一个平面垂直于直线；

③ 过平面外两点，有且只有一个平面与垂直；

④ 直线同时垂直于平面、，则∥；其中正确的命题个数为        （    ）

A、0                         B、1                   C、2                         D、3

7．一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台

效果，设计者按照每次点亮时，恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点

亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是                                                （    ）

       A．28                      B．84                       C．180                    D．360

8．直线与圆的位置关系是                 （    ）

    A．相交          B．相离       C．相切     D．与、的取值有关

9．已知x，y满足，的最大值为，最小值为，

则a的范围为                                                       （    ）

       A　        B　       C　       D　

10．若, 则与的大小关系是          (    )

A．  B．  C．  D．不能确定

11．椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次

为，则的最大值为                               （    ）

A．           B．         C．        D．不能确定

12．如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，

，且，，，，，在平面内有一个动点

，使得，则的面积的最大值是                 （    ）

A．     B．    C．          D．

第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

把答案填写在答题纸相应位置上．

13．二项式的展开式中常数项为      ；

14．在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为

、、5，则此四面体ABCD的外接球的半径R为      ；

15．已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线左支上的

一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是           ；

16．对于函数（为常数，且），给出下列命题：

① 函数的最小值为-1；

② 函数在每一点处都连续；

③ 函数在R上存在反函数；

④ 函数在处可导；

⑤ 对任意的实数且，恒有；

其中正确命题的序号是               ；

17．（本题满分10分）

在中，角的对边分别为，，

，且；

（1）求角的大小；

（2）当取最大值时，求角的大小；

18. （本题满分12分）

一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球,

 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为；

（1）求时的概率；（2）求的概率分布列及数学期望；

19. （本小题满分12分）

    如图：直平行六面体，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD＝60°，E为AB中点，二面角为60°；

    （1）求证：平面⊥平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）求点到平面的距离；

20. （本题满分12分）

已知函数；

（1）；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程在上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围；

21. （本题满分12分）

已知数列中，，且；

（1）求证：；

（2）设，是数列的前项和，求的解析式；

（3）求证：不等式对于恒成立；（（3）问只理科生做，文科生不做）

22．（本题满分12分）

在△ABC中，，B是椭圆的上顶点，l是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．

（1）求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

（2）过定点F(0，)作互相垂直的直线l₁、l₂，分别交轨迹E于M、N和R、Q；

求四边形MRNQ的面积的最小值；

哈尔滨市第六中学2009届高三第一次模拟考试

理科数学试卷答案

17．（本题满分10分）

在中，角的对边分别为，，

，且；

⑴求角的大小；

⑵当取最大值时，求角的大小；

解：⑴由，得，从而

由正弦定理得

，，            （4分）

⑵

由得，时，

即时，取最大值                                    （10分）

18. （本题满分12分）

一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为.

（1）求时 的概率；（２）求的概率分布列及数学期望.   

18. 解：（解法一 ）（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率

②三取取球中有2次出现最大数字3的概率

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率

∴．   ……………………………………4分

（２）在时, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

的概率分布为：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．…………………………………………12分

（解法二）（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．

．   ……………………………………4分

（２）在时, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

的概率分布为：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．………12分

19．（本大题满分12分）

如图：直平行六面体，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD＝60°，E为AB中点，二面角为60°；

    （1）求证：平面⊥平面；

    （2）求二面角的余弦值；

    （3）求点到平面的距离；

（I）证明：连结BD，在菱形ABCD中：∠BAD＝60°

    ∴△ABD为正三角形  ∵E为AB中点，∴ED⊥AB

    在直六面体中：平面⊥平面ABCD且交于AB

    ∵面ABCD    ∴ED⊥面    ∴平面⊥平面………3分

    （II）解：（解法一）由（I）知：ED⊥面  ∵面，∴

  直平行六面体中：⊥面ABCD 由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED

    ∴∠A₁EA为二面角的平面角    ∴

    取中点F，连EF、，则：

    在直平行六面体中：   

    ∴E、F、C₁、D四点共面    ∵ED⊥面ABB₁A₁且EF面

    ∴∠A₁EF为二面角的平面角………………5分

    在中：

    在中：

    在中：………………7分

    ∴在中，

    ∴二面角的余弦值为………………8分

    （解法二）由已知得：二面角为

    可证得：∠C₁DC为二面角的平面角    求得：

    故二面角的大小为

    所以，二面角的余弦值为          ………………8分

    （III）过F作FG⊥A₁E交于G点

    ∵平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁且平面A₁ED平面

    ∴FG⊥面，即：FG是点F到平面A₁ED的距离；

    在中：

    ；

且E、D面   ∴C₁到平面的距离为：……12分

20． (本大题满分12分)
已知函数．

（1）。

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

（3）若关于x的方程在上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围。

解：（Ⅰ）        （1分）

         令得或（舍去）

        列表得： 为函数在上的极大值,无极小值；（4分）

（Ⅱ）由，可得或

     即或

由（Ⅰ）当时，，

∵恒成立，∴

∵恒成立，∴

∴的取值范围为：或    （8分）

（Ⅲ）由

令 （或令求也可）

 则

    令得 或（舍去）

     当时，，于是在上递增

当时，，于是在上递减

而

∴即在恰有两个不同实根等价于

由此得：            （12分）

21. （本题满分12分）

已知数列中，，且

（1）求证：；
（2）设，是数列的前项和，求的解析式；

（3）求证：不等式对于恒成立。

（1），

又因为，则，即，又，，…………………………………….4分

（2），…….5分

因为，所以当时，….6分

当时，，①

，②

①-②：，

.综上所述，……………8分

（3），

又，易验证当时不等式成立；

假设，不等式成立，即，两边乘以3得

又因为

所以

即时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………..12分

22．（本题满分12分）

在△ABC中，，B是椭圆的上顶点，l是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．

  (1) 求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

  (2) 过定点F(0，)作互相垂直的直线l₁、l₂，分别交轨迹E于M、N和R、Q．

求四边形MRNQ的面积的最小值．

 (1)解：（解法一）由椭圆方程及双曲线方程可得点B(0，2)，

直线l的方程是． ，且AC在直线l上运动.

可设，

则AC的垂直平分线方程为 ①

AB的垂直平分线方程为 ②    

∵P是△ABC的外接圆圆心，点P的坐标(x，y)满足方程①和②.

由①和②联立消去m得：，即.

故圆心P的轨迹E的方程为            6分

（解法二）利用直线被圆截得的弦长公式（勾股定理）求轨迹方程也可；

(2)解：如图，直线l₁和l₂的斜率存在且不为零，设l₁的方程为

∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程为由得

，∴直线l₁与轨迹E交于两点.

设M(x₁，y₁)， N(x₂，y₂)，则

∴
同理可得：                  9分

∴四边形MRNQ的面积

≥

当且仅当，即时，等号成立.故四边形MRNQ的面积的最小值为72．12分