(15)(本小题共12分)

　　 已知=2，求

(I)的值；　 (II)的值．

(16)(本小题共14分)

　　 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，点D是AB的中点，

　 (I)求证：AC⊥BC₁；

　 (II)求证：AC ₁//平面CDB₁；

　 (III)求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值．

(17)数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

　 (I)a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；

　 (II)的值.

(18)(本小题共13分)

　　　 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，

　 (I)甲恰好击中目标的2次的概率；

　 (II)乙至少击中目标2次的概率；

　 (III)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．

(19)(本小题共14分)

　　 已知函数f(x)=－x³+3x²+9x+a,

(I)求f(x)的单调递减区间；

(II)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

(20)(本小题共14分)

　　 如图，直线 l₁：y＝kx(k>0)与直线l₂：y＝－kx之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．

(I)分别用不等式组表示W₁和W₂；

(II)若区域W中的动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；

(III)设不过原点O的直线l与(II)中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

(9)抛物线y²=4x的准线方程是　　　　　 ；焦点坐标是　　　　　 ．

(10)的展开式中的常数项是　　　　　　　 (用数字作答)

(11)函数的定义域为　　　　　　　　 .

(12)在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为　　　　 ．

(13)对于函数f(x)定义域中任意的x₁，x₂(x₁≠x₂)，有如下结论：

　　　 ①f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)；② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)； ③>0；④.

　　　 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是　　　　　　 .

(14)已知n次多项式,

　　 如果在一种算法中，计算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要　　　　　　　 次运算．

　　 下面给出一种减少运算次数的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要　　　　 次运算．

　 (1)设集合M={x| x>1，P={x| x²>1}，则下列关系中正确的是

　 (A)M＝P　 (B)PM　 (C)MP　 ( D)

(2)为了得到函数的图象，只需把函数上所有点

　 (A)向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　 (B)向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

　 (C)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

　 (D)向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

(3)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

　　 (A)充分必要条件　　　　 (B)充分而不必要条件

　　 (C)必要而不充分条件　　 (D)既不充分也不必要条件

　 (4)若，且，则向量与的夹角为

　　 (A)30°　 (B)60°　　 (C)120°　 (D)150°

　 (5)从原点向圆 x²+y²－12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为

　　 (A)　 (B)　 　　(C)　　 (D)

(6)对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是

　　 (A)sin(α+β)>sinα+sinβ　　 (B)sin(α+β)>cosα+cosβ

　　 (C)cos(α+β)<sinα+sinβ　 (D)cos(α+β)<cosα+cosβ

(7)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

　　 (A)BC//平面PDF　　　　　 (B)DF⊥平面PA E

　　 (C)平面PDF⊥平面ABC　　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

(8)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有

(A)种　　 (B)种　 (C)种　 (D)种

20．(本小题共14分)

设是定义在[0，1]上的函数，若存在上单调递增，在[x^*，1]上单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，x^*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.

对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

　 (Ⅰ)证明：对任意的为含峰区间；

若为含峰区间；

　 (Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；

　 (Ⅲ)选取，由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0，)或(，1)，在所得的含峰区间内选取类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为(0，)的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

　 (区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

[答案]

[详解]

(I)证明：设为的峰点,则由单峰函数定义可知在上单调递增,

　　　 在上单调递减.

　　　 当时,假设,则从而

　　　 这与矛盾,所以,即是含峰区间.

　　　 当时,假设,则,从而

　　　 这与矛盾,所以,即是含峰区间.

(II)证明：由(I)的结论可知：

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 对于上述两种情况,由题意得

　　　 由①得,即

　　　 又因为,所以

将②代入①得

　　　 由①和③解得

　　　 所以这时含峰区间的长度,即存在使得所确定的含峰区间

　　　 的长度不大于

(III)解：对先选择的,由(II)可知

　　　 在第一次确定的含峰区间为的情况下, 的取值应满足

　　　 由④与⑤可得

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 由条件,得,从而

　　　 因此,为了将含峰区间的长度缩短到,只要取

[名师指津]

　　　 本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题.

19．(本小题共12分)

设数列

记

　 (Ⅰ)求a₂，a₃；

　 (Ⅱ)判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

　 (Ⅲ)求

[答案]

[详解]

解：(I)

　(II)

　　　 因为,所以

　　　 所以

　　　 猜想：是公比为的等比数列.

　　　 证明如下：

　　　 因为

　　　 所以是首项为,公比为的等比数列.

(III)

[名师指津]

　　　 数列类型题,数列通项公式的递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之

通项公式的方法应掌握,另外递推公式与数学归纳法思想一致,数学归纳法证明方法经常在此类

题中运用.等差等比数列的通项公式及前项和公式的求法和运用,等差等比数列的性质做为本

章复习的重点内容.

18．(本小题共14分)

　　　 如图，直线l₁：与直线l₂：之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂.

　 (Ⅰ)分别用不等式组表示W₁和W₂；

　 (Ⅱ)若区域W中的动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；

(Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别

交于M₃，M₄两点. 求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合.

[答案]

[详解]

解：(I)

(II)直线直线,由题意得

　　　 即

　　　 由知

　　　 所以即

　　　 所以动点P的轨迹方程为

(III)当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直线、曲线C关于轴对称,

　　　 且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以

　　　 的重心坐标都为,即它们的重心重合.

　　　 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为

　　　 由,得

　　　 由直线　与曲线C有两个不同交点,可知,且

　　　 设的坐标分别为

　　　 则

　　　 设的坐标分别为

　　　 由

　　　 从而

　　　 所以

　　　 所以

　　　 于是的重心与的重心也重合.

[名师指津]

　　　 本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数、数列、不等式、向量等综合考

查各种数学思想及方法.

17．(本小题共13分)

　　　 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为

　 (Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；

(Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率；

(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

[答案]

[详解]

解：(I)　

的概率分布如下表：

	0	1	2	3
P

或

(II)乙至多击中目标2次的概率为

(III)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次

为事件,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件,则

为互斥事件.

所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.

[名师指津]

　　　 概率应用题在每年的各地高考试题中基本上都会有所涉及,而且本类题相对比较容易解决,复习时一定将这类题落实.

16．(本小题共14分)

　　　 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足为E.

(Ⅰ)求证BD⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求异面直线AD与BC₁所成角的余弦值.

解法一：

(I)在直四棱柱中,

　　　 底面,

　　　 是在平面上的射影.

(II)连结

　　　 与(I)同理可证

　　　 为二面角的平面角.

　　　 又且

　　　 在中,， ，

　　　 即二面角的大小为90°

(III)过B作BF∥AD交于,连结

　　　 则就是与所成的角.

在中,。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法二：

(I)同解法一.

(II)如图,以D为坐标原点,所

　　　 在直线分别为轴,轴,轴,建立空间

　　　 直角坐标系.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　 得。

　　　 ∴ 。∴。

　　　 ∴ 二面角的大小为90°.

(II)如图,由，得。

∵ ，

∴。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法三：

(I)同解法一.

　 (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　 由

　　　 得

　　　 二面角的大小为

(III)如图,由

　　　 得

　　　 异面直线与所成角的大小为

[名师指津]

　　　 三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平

行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.

15．(本小题共13分)

　　　 已知函数

　 (Ⅰ)求的单调减区间；

(Ⅱ)若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

[答案]

[详解]

解：(I)

令,解得或

所以函数的单调递减区间为

(II)因为

所以

因为在上,所以在单调递增,又由于

在上单调递减,因此和分别是在区间

上的最大值和最小值.

于是有,解得

故

因此

即函数在区间上的最小值为

[名师指津]

　　　 函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要

　　　 熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.

14．已知n次式项式.

　　 如果在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P₃(x₀)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P₁₀(x₀)的值共需要　　　　　　　

　　 次运算.

　　　 下面给出一种减少运算次数的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用该算法，计算P₃(x₀)的值共需要6次运算，计算P₁₀(x₀)的值共需要

　　　　　　 次运算.

[答案]

[详解]

　　　 由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果

　　　 对于这里进行了3次运算,

　　　 进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法

运算进行了3次这样总共进行了次运算

对于总共进行了次

乘法运算及次加法运算所总共进行了次

由改进算法可知：

　　　 ,,

运算次数从后往前算和为：次

[名师指津]

　　　 本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息.