⑴、设集合，，则

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑵、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑶、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

⑷、如果复数是实数，则实数

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑸、函数的单调增区间为

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑹、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、抛物线上的点到直线距离的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑼、设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则

A．　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　 D．

⑽、设是公差为正数的等差数列，若，，则

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑾、用长度分别为2、3、4、5、6(单位：)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

⑿、设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

22、解：

(1)　　　 将条件变为：1－＝，因此{1－}为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝(n³1)…………1°

(2)　　　 证：据1°得，a₁·a₂·…a_n＝

为证a₁·a₂·……a_n<2·n！

只要证nÎN^*时有>…………2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN^*，有

³1－()…………3°

用数学归纳法证明3°式：

(i)　　　　　　　　　　 n＝1时，3°式显然成立，

(ii)　　　　　　　　　 设n＝k时，3°式成立，

即³1－()

则当n＝k+1时，

³(1－())·()

＝1－()－+()

³1－(+)即当n＝k+1时，3°式也成立。

故对一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－()＝1－

＝1－>

故2°式成立，从而结论成立。

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因为，椭圆　 Q右准线l方程是x＝，原点距l

的距离为，由于c²＝a²－b²，a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£)

则＝＝2sin(+)

当q＝时，上式达到最大值。此时a²＝2，b²＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，三角形ABD的面积

S＝|y₁|+|y₂|＝|y₁－y₂|

设直线m的方程为x＝ky+1，代入中，得(2+k²)y²+2ky－1＝0

由韦达定理得y₁+y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝(y₁－y₂)²＝(y₁+y₂)²－4 y₁y₂＝

令t＝k²+1³1，得4S²＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

22、(本大题满分14分)

已知数列{a_n}满足：a₁＝，且a_n＝

(3)　　　 求数列{a_n}的通项公式；

(4)　　　 证明：对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·……a_n<2·n！

21、解：如图，(1)设椭圆Q：(a>b>0)

上的点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又设P点坐标为P(x，y)，则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

21、(本大题满分12分)

如图，椭圆Q：(a>b>0)的右焦点F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

(3)　　　 求点P的轨迹H的方程

(4)　　　 在Q的方程中，令a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£ )，确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

20、解法一：

(1)　　　 方法一：作AH^面BCD于H，连DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC　 \BD^DC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

(2)　　　 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

(3)　　　 设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略

20、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

(4)　　　 求证：AD^BC

(5)　　　 求二面角B－AC－D的大小

(6)　　　 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD

成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

19、解：

(1)　　　 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理

得

则S₁＝GM·GA·sina＝

同理可求得S₂＝

(2)　　　 y＝＝

＝72(3+cot²a)因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216

19、(本小题满分12分)

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设ÐMGA＝a()

(3)　　　 试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)

表示为a的函数

(4)　　　 求y＝的最大值与最小值

18、解：(1)x的所有可能的取值为0，10，20，50，60

分布列为

x	0	10	20	50	60
P

(2)Ex＝3.3