题目列表(包括答案和解析)

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13.   18   ;   14. ;   15. ;  

 16(1,-1)    17.0.15      18. .

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22.(12分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元.

(1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:

 方案一:年平均获利最大时,以26万元出售该渔船

 方案二:总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.

解析:(1)由题意知,每年的费用以12为首项,4为公差的等差数列.

 设纯收入与年数n的关系为f(n),则

 

 由题知获利即为f(n)>0,由,得

∴ 2.1<n<17.1.而nN,故n=3,4,5,…,17.∴ 当n=3时,即第3年开始获利.

 (2)方案一:年平均收入

 由于,当且仅当n=7时取“=”号.

 ∴ (万元).

 即第7年平均收益最大,总收益为12×7+26=110(万元).

 方案二:f(n)=+40n-98=-2+102.

 当n=10时,f(n)取最大值102,总收益为102+8=110(万元).

 比较如上两种方案,总收益均为110万元,而方案一中n=7,故选方案一.

 (23) (本小题满分14分)已知函数在区间[n,m]上为减函数,记m的最大值为m0,n的最小值为n 0,且有m0- n 0=4.

(1)求m0,n 0的值以及函数的解析式;

(2)已知等差数列{xn}的首项,公差.又过点 的直线方程为试问:在数列{xn}中,哪些项满足

(3)若对任意,都有成立,求a的最小值.

解(1)  由题意可知为方程的两根

其中     解得                  

 

(2)由(1)得A(0,5),B(1,-6),         6/

                

又由题得    可解得

时,满足题意 (3)              

  由题意,恒成立,即恒成立    

要使恒成立,只要成立,即只要成立

的最小值为1                       

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21.(本题满分12分)已知正方形ABCD的外接圆方程为 x2+y2-24x+a=0 (a<144),正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1),

(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程;

(2)若顶点在原点焦点在x轴的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B,求抛物线E的方程。

(3) 设点N(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线E交于另外两点S、T.试判断三角形的形状?(锐角、钝角或直角三角形)并证明之.

解(1)由可知圆心M的坐标为(12,0),            依题意: , ,

 MA、 MB的斜率k满足:,解得:      (2分) 

∴所求AC方程为:x+2y-12=0     BD方程为:2x-y-24=0 ……………(4分)

(2) 设MB、 MA的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=2,tanθ2=

设圆半径为r,则 …………(6分)

再设抛物线方程为?y2=2px  (p>0)?,由于A, B两点在抛物线上,

? 

得抛物线方程为?y2=4x.?           ……………(8分)

(3)[证明]设T(t2,2t)、S(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线ST的方程为

化简得2x-(s+t)y+2st=0.由于直线ST过点(5-2),故2×5-(s+t)(-2)+2st=0,

即(s+1)(t+1)=-4.              ……………(10分)

因此

所以∠TNS=90°.从而△NTS是直角三角形.           ……………  (12分)

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20.(本题12分)已知: 如图, 长方体AC1中, 棱AB=BC=3, 棱BB1=4, 连结B1C, 过点B作B1C的垂线交CC1于点E, 交B1C于点F.

(1) 求证: A1C平面EBD;

(2) 求点A到平面A1B1C的距离;

(3) 求ED与平面A1B1C所成角的大小.

解: (1)连结AC.在长方体AC1中, A1C在底面ABCD上的射影为AC, AC⊥BD,

∴AC1⊥BD. ……(2分)

在长方体AC1中, A1C在平面BB1C1C上的射影为B1C,B1C⊥BE, ∴A1C⊥BE. ……(3分)

又BDBE=B, ∴A1C⊥平面EBD. ……(4分)

(2) ∵BF⊥B1C, BF⊥AB1, B1CA1B1=B1,

∴BF⊥平面A1B1C1, ……(5分)

又∵A1B1∥AB, A1B1平面A1B1C,AB平面A1B1C,

∴AB∥平面A1B1C, 点A到平面A1B1C的距离即为点

B到平面A1B1C距离, 也就是BF. ……(7分)

在△B1BC中, 易知,

点A到平面A1B1C的距离为.……(8分)

(3)连结A1D、FD. 由(2)知BE⊥平面A1B1C,

即BE⊥平面A1B1CD,

∴∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角. ……(9分)

矩形B1BCC1中, 易求得B1F=, CF=, EF= EC=

又在Rt△CDE中, ,……(11分)

即ED与平面A1B1C所成角为.……(12分)

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19. (本题12分) 已知向量, .

(1) 当时, 求的值;    (2) 求函数的值域.

解:  …… (3分)

(1)……(4分) 又

……(7分)

(2)……(8分)

……(10分)

.……(12分)

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18. 半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为, 则半球

的体积为         .

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17. 将容量为100的样本数据按从小到大的顺序分成8个组,如下表:

组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
11
14
12
13
13
x
12
10

 
  

则第六组的频率为      .

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16.圆x2+y2=2上到直线xy-4=0距离最近的点的坐标是_________.

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15. 若曲线在点P处的切线平行于直线, 则点P的坐标为      .

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14. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程为           .

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