(二)三角形

4.　　　 一般三角形的性质

(1)　　　　　　　　　　　　　　　 角与角的关系：

三个内角的和等于180°；

一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何-个和它不相邻的内角。

(2)　　　　　　　　　　　　　　　 边与边的关系：

三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)　　　　　　　　　　　　　　　 边与角的大小对应关系：

在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

(4)　　　　　　　　　　　　　　　 三角形的主要线段的性质(见下表)：

5.　　　 几种特殊三角形的特殊性质

(1)　　　　　　　　　　　　　　　 等腰三角形的特殊性质：

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。

(2)　　　　　　　　　　　　　　　 等边三角形的特殊性质：

①等边三角形每个内角都等于60°；

②等边三角形外心、内心合一。

(3)　　　　　　　　　　　　　　　 直角三角形的特殊性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③　　 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和

(其逆命题也成立)；

④　　 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

6.　　　 三角形的面积

(1)　　　　　　　　　　　　　　　 一般三角形：S _△ = a h( h 是a边上的高 )

(2)　　　　　　　　　　　　　　　 直角三角形：S _△ = a b = c h(a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高)

(3)　　　　　　　　　　　　　　　 等边三角形： S _△ = a ²(　 a是边长 )

(4)　　　　　　　　　　　　　　　 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。

7.　　　 相似三角形

(1)　　　　　　　　　　　　　　　 相似三角形的判别方法：

①　　 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；

②　　 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③　　 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(2)　　　　　　　　　　　　　　　 相似三角形的性质：

①　　 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；

②　　 相似三角形的周长比等于相似比；

③　　 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.　　　 全等三角形

两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。

　　 判定两个三角形全等的公理或定理：

①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；

②直角三角形还有HL

(一)平行线

1.　　　 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.　　　 判定：

(1)　　 同位角相等，两直线平行。

(2)　　 内错角相等，两直线平行。

(3)　　 同旁内角相等，两直线平行。

(4)　　 垂直于同一直线的两直线平行。

3.　　　 性质：

(1)　　　　　　　　　　　　　　　 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

(2)　　　　　　　　　　　　　　　 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(3)　　　　　　　　　　　　　　　 两直线平行，同位角相等。

(4)　　　　　　　　　　　　　　　 两直线平行，内错角相等。

(5)　　　　　　　　　　　　　　　 两直线平行，同旁内角互补。

29、

27. ________.　　　　 28__________

25.(1)证明:∵在△ABC与△EFD中,AB=EF,由EF∥AB得∠BAC=∠FED.由AD= CE得AC=ED.

∴△ABC≌△EFD.

(2)四边形BDFC是平行四边形.

证明:∵△ABC≌△EFD,

∴BC=FD,∠BCA=∠EDF.

∴BC∥FD

∴四边形BDFC是平行四边形.

26剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用.

∵□ 中，∥，∴.　　　　　

又，.

∴△≌△，∴.　　　　

∴四边形是平行四边形 .　　

又，∴□ 是菱形.

24．：可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。

证： ⑴∵AD∥BC　 ∴AD∥CE　 又∵DE∥AC ∴四边形ACED是平行四边形

　⑵过D点作DF⊥BE于F点　 ∵DE∥AC，AC⊥BD ∴DE⊥BD，即∠BDE=90°　　　　　　　　　　　　　　 由⑴知DE=AC，CE=AD=3 ∵四边形ABCD是等腰梯形　 ∴AC=DB　　　　　　　　　　 ∴DE=DB　 ∴△DBE是等腰直角三角形，∴△DFB也是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　 ∴DF=BF=(7－3)+3=5　 (也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半“)　　　　　　　　　　　　 注：⑴过对角线交点O作OF⊥BC于F，延长FO交AD于H，于是OH⊥AD由△ABC≌△DCB，得到△OBC是等腰直角三角形，OF=BC=　　　 同理OH=AD=，高HF=⑵过A作AF⊥BC于F，过D作DH⊥BC于H，由△AFC≌△DHB　 得高AF=FC=(AD+BC)=5⑶(进行计算)

解：(1)当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。 理由如下：

　　　　　 在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形。

　　　　　 ∴AE＝CD＝BD。 ∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，　 ∴AB不平行于DE，

　　　　　 ∴四边形ABED是梯形。　 ∵AE∥CD，CD＝BD，　 ∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。

　　　 　　在△ABE和△DEB中，

　　　　　 ∴△ABE≌△DEB (SAS)。　 ∴AB＝DE，

　　　　　 ∴四边形ABED是等腰梯形。 (也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE)

　　　 (2)当C＝6时，四边形ABD是直角梯形。　 理由如下：　 在BC上取一点，使C＝B＝＝6，连结D，　 ∵BD＝CD　 ∴D⊥BC　 又∵B≠AD，AD∥B，　 ∴AB不平行于D　 　∴四边形ABD是直角梯形。

23、∵，

∴四边形DBFE是平行四边形

∴　 DE=BF,

∵ 是的中点．

∴BF=CF

∴

　证明：∵DE∥BC,EF∥AB,

　　　　　 ∴四边形BDEF是平行四边形　 ∴DE=BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　 ∵F是BC的中点 ∴BF=CF　 ∴DE=CF

22．解：(1)AC＝ cm，BC＝cm

　 (2)所求几何体的侧面积S＝()

20、DE=　 5。8　 cm.21、　 C.菱形　

19.