12．设f(x)＝|x²－a²|dx.

(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；

(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．

解：(1)0≤a≤1时，

f(a)＝|x²－a²|dx

＝(a²－x²)dx+(x²－a²)dx

＝(a²x－x³)+(－a²x)

＝a³－a³－0+0+－a²－+a³

＝a³－a²+.

当a＞1时，

f(a)＝(a²－x²)dx

＝(a²x－x³)

＝a²－.

∴f(a)＝

(2)当a＞1时，由于a²－在时，f′(a)＝4a²－2a＝2a(2a－1)，

由f′(a)＞0知：a＞或a＜0，

故在上递减，在[，1]上递增．

因此在上，f(a)的最小值为f()＝.

综上可知，f(x)在[0，+∞)上的最小值为.

11．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________．

解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax+b(a≠0)，由(ax+b)dx＝5得(ax²+bx)＝a+b＝5，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由xf(x)dx＝得 (ax²+bx)dx＝，即

(ax³+bx²) ＝，∴a+b＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x+3，

于是dx＝dx＝ (4+)dx

＝(4x+3lnx)＝8+3ln2－4＝4+3ln2.

答案：4+3ln2

10.(2010·烟台模拟)若y＝(sint+costsint)dt，则y的最大值是　　　　　　　 (　)

A．1　 　　B．2 　　　　C．－ 　　　　D．0

解析：y＝(sint+costsint)dt＝(sint+sin2t)dt

＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x+

＝－cosx－(2cos²x－1)+＝－cos²x－cosx+

＝－(cosx+1)²+2≤2.

答案：B

9．一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．

解析：据题意，v与t的函数关系式如下：

v＝v(t)＝

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

s＝＝++

＝t²+(50t－t²)+10t

＝900米．

答案：900

8．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(　)

A．0.05 J 　　B．0.5 J　　 C．0.25 J 　　　D．1 J

解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1 N时，x＝0.01 m，可解得k＝100 N/m，则F＝100x，所以W＝100xdx＝50x²＝0.5 J.

答案：B

7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t²－t+2，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　)

A.　　　B.　　　　 C.　 　　　　　D.

解析：s＝(t²－t+2)dt＝(t³－t²+2t)|＝.

答案：A

6．如图，设点P从原点沿曲线y＝x²向点A(2,4)移动，

记直线OP、曲线y＝x²及直线x＝2所围成的面积

分别记为S₁，S₂，若S₁＝S₂，则点P的坐标为________．

解析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)，

则(kx－x²)dx＝(x²－kx)dx，

即(kx²－x³)＝(x³－kx²)，

解得kx²－x³＝－2k－(x³－kx²)，

解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．

答案：(，)

5．已知函数y＝x²与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分

(如图所示)的面积为，则k＝________.

解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为，

再由(kx－x²)dx＝(－)＝＝求得k＝2.

答案：2

4．如图，函数y＝－x²+2x+1与y＝1相交形成一个闭合

图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是　　 (　)

A．1　 　　B.　　　 C. 　　　　D．2

解析：函数y＝－x²+2x+1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x²+2x+1－1)dx＝(－x²+2x)dx＝.

答案：B

3．计算以下定积分：

(1) (2x²－)dx；

(2)(+)²dx；

(3)(sinx－sin2x)dx；

解：(1) (2x²－)dx＝(x³－lnx)

＝－ln 2－＝－ln 2.

(2)(+)²dx＝(x++2)dx

＝(x²+lnx+2x)

＝(+ln 3+6)－(2+ln 2+4)

＝ln+.

(3) (sinx－sin2x)dx＝(－cosx+cos2x)

＝(－－)－(－1+)＝－.