5.等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₂,a₃,a₁成等差数列，则的值是(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　 D.或

[答案]B

[解析]∵a₃=a₂+a₁,

∴q²-q-1=0,q=，或q=(舍).

∴.

4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a₁=,a_n=f(n)(n∈N^*),则数列{a_n}前n项和S_n的取值范围是(　　 )

A.［，2)　　　　　　　　　　　　　　　 B.［，2］

C.［，1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.［，1］

[答案]C

[解析]因f(n+1)=f(1)·f(n),则a_n+1=a₁·a_n=a_n，

∴数列{a_n}是以为首项，公比为的等比数列.

∴a_n=()ⁿ.

S_n==1-()ⁿ.

∵n∈N^*,∴≤S_n＜1.

3.数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+a,要使{a_n}是等比数列，则a的值为(　　 )

A.0　　 　　　　　　　B.1　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　　　　 D.2

[答案]C

[解析]∵a_n=

要使{a_n}成等比，则3+a=2·3^1-1=2·3⁰=2,即a=-1.

2.一个公比q为正数的等比数列{a_n}，若a₁+a₂=20,a₃+a₄=80,则a₅+a₆等于(　　 )

A.120　　　　　　　　 B.240　　　　　　 C.320　　　　　　　　　 D.480

[答案]C

[解析]∵a₁+a₂,a₃+a₄,a₅+a₆也成等比数列(公比为q²).

∴a₅+a₆==320.

1.b²=ac,是a,b,c成等比数列的(　　 )

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B.必要非充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

[答案]B

[解析]因当b²=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b²=ac.

13.(2010中科大附中模拟，19)等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n,且a₁,a₃,a₉成等比数列，S₅=a₅²;

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足b_n=,求数列{b_n}的前99项的和.

[解析](1)设数列{a_n}公差为d(d＞0),

∵a₁,a₃,a₉成等比数列,

∴a₃²=a₁a₉,

(a₁+2d)²=a₁(a₁+8d),d²=a₁d.　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

∵d≠0,∴a₁=d.

∵S_n=a₅²,

∴5a₁+·d=(a₁+4d)².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得：

a₁=　 d=,

∴a_n=+(n-1)×=n.

b_n=.

∴b₁+b₂+b₃+…+b₉₉

=［99+(1-)+(-)+…+()］

=(100-)=.

12.(2010湖北黄冈中学模拟，17)已知等比数列{a_n}中，a₁=64,公比q≠1,a₂,a₃,a₄又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.

(1)求a_n;

(2)设b_n=log₂a_n,求数列{|b_n|}的前n项和T_n.

[解析](1)依题意有a₂-a₄=3(a₃-a₄)，

即2a₄-3a₃+a₂=0,2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，

即2q²-3q+1=0.∵q≠1,∴q=.

故a_n=64×()^n-1,

(2)b_n=log₂［64×()^n-1］=log₂2^7-n=7-n，

∴|b_n|=

n≤7时，T_n=;n＞7时，

T_n=T₇+

=21+，

故T_n=

11.求a+2a²+3a³+…+naⁿ.

[解析]设S=a+2a²+3a³+…+naⁿ.

若a=0,则S=0；

若a=1,则S=;

若a≠0,且a≠1,则S=a+2a²+3a³+…+naⁿ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

aS=a²+2a³+…+(n-1)aⁿ+na ⁿ⁺¹　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①-②得

(1-a)S=a+a²+…+aⁿ-naⁿ⁺¹

=-naⁿ⁺¹.

∴S=.

10.数列{a_n}满足a₁=,a₁+a₂+…+a_n=n²a_n,则a_n=_______________.

[答案](n∈N^*)

[解析]∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n①

∴a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=(n+1)²·a_n+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

②-①得

∴a_n+1=(n+1)²a_n+1-n²a_n,.

∴a_n=a₁··…·.