6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为( 　)

　A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度

　B．时间t时该物体的瞬时速度

　C．当时间为△t 时该物体的速度

D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率

5．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 (　　 )

　　　 A．5，－15　　　　　　　 B．5，－4　　　　　　　 C．－4，－15　　　　　　 D．5，－16

4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　 )

　A．90°　　　 B．0°　　　 C．锐角　　 D．钝角

3．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是　　　　　　　 (　　 )

　A．(-1，2)　　　 B．(1，-2)　　 C．(1，2)　　 D．(-1，2)或(1，-2)

2．若，则等于　　　　　 (　 　　)

A．　　　　 B．　　　 C．3　　　 D．2

1．设函数f(x)在处可导，则等于　　 (　 　　)

　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

例1．　 在处可导，则　　　 　　　

思路：　 在处可导，必连续　　 　　　　∴

　　 　　∴ 　　

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

　(1)；　 (2)

　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。

　解：(1)

　

　(2)

　

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。

例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若为偶函数　　 　　令

　　

　　　　　 　　

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

　　 另证：

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

例4．(1)求曲线在点(1，1)处的切线方程；

　(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度。

　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

　解：(1)，

　，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0

　因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1

　(2)

　　　　

　。

例5． 求下列函数单调区间

(1)

(2)

(3)

(4)

解：(1) 　时

　　 ∴ ，

(2)　 ∴ ，

(3)　

∴ 　　　

∴ ，　 ，

(4)　 定义域为

　　 　　　　　

例6．求证下列不等式

(1)

(2)

(3)

证：(1) 　

∴ 为上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　

　　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

例7．利用导数求和：

　(1)；

　(2)。

　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。

　解：(1)当x=1时，

　；

　当x≠1时，

　∵，

　两边都是关于x的函数，求导得

　

　即

　(2)∵，

　两边都是关于x的函数，求导得。

　令x=1得

　，

　即。

例8．求满足条件的

(1)使为上增函数

(2)使为上……

(3)使为上

解：(1)　 ∴

　 时　 也成立　 ∴

(2)　 　时　 也成立　 ∴

(3)

例9．(1)求证

(2)　 　求证

(1)证：令　 　∴ 　　

原不等式　 令 　　∴

　　 ∴ 　　∴

∴ 　　令 　　∴

　 　　∴　

∴ 　　∴ 　　∴

(2)令 上式也成立

将各式相加

即

例10．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷，理工农医类19))

　　 设，求函数的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.

解：.

当时　 .

(i)当时，对所有，有.

即，此时在内单调递增.

(ii)当时，对，有，

即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，

函数在(0，+)内单调递增

(iii)当时，令，即.

解得.

因此，函数在区间内单调递增，在区间

内也单调递增.

令，

解得.

因此，函数在区间内单调递减.

说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下(人教版试验本第三册P148)：

设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。

　例11．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。

　(1)求A、B两点的坐标；

　(2)求直线与的夹角。

　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。

　解　 (1)由方程组

　

　解得 A(-2，0)，B(3，5)

　(2)由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，

　

　所以

　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。

例12．(2001年天津卷)设，是上的偶函数。

(I)求的值；

(II)证明在上是增函数。

解：(I)依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，

由此得到，，

又∵，∴。

(II)证明：由，得，

当时，有，此时。

∴在上是增函数。

例13．(2000年全国、天津卷)设函数，其中。

(I)解不等式；

(II)证明：当时，函数在区间上是单调函数。

解1：(I)分类讨论解无理不等式(略)。

(II)作差比较(略)。

解2：

(i)当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。

(ii)当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。

解方程，得或，

∵，

∴当且仅当时，，

综上，(I)当时，所给不等式的解集为：；

当时，所给不等式的解集为：。

(II)当且仅当时，函数在区间上时单调函数。

例14．(2002年普通高等学校招生全国统一考试(新课程卷理科类20))

　　 已知，函数设，记曲线在点处的切线为。

　　 (Ⅰ)求的方程；

(Ⅱ)设与轴的交点为，证明：①②若，则

解：(1)的导数，由此得切线的方程

，

(2)依题得，切线方程中令，得

，其中，

(ⅰ)由，，有，及，

∴，当且仅当时，。

(ⅱ)当时，，因此，，且由(ⅰ)，，

所以。

例15．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷21))

　　 已知为正整数.

　 (Ⅰ)设；

　 (Ⅱ)设

分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。

证明：(Ⅰ)因为，

所以

(Ⅱ)对函数求导数:

∴

　　　　　　

即对任意

4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：

　(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；

　(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；

　(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。

　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解--求导--回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

3．要能正确求导，必须做到以下两点：

　(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

　(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

　对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。