19．解(1)m＝12时，数列的周期为24．

∵2010＝24×83+18，而a₁₈是等比数列中的项，　 ∴a₂₀₁₀＝a₁₈＝a₁₂₊₆＝．

(2)设a_m+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m+k＝．

∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．

∴a₅₂最多是第三个周期中的项．

若a₅₂是第一个周期中的项，则a₅₂＝a_m+7＝．　 ∴m＝52－7＝45；

若a₅₂是第二个周期中的项，则a₅₂＝a_3m+7＝．∴3m＝45，m＝15；

若a₅₂是第三个周期中的项，则a₅₂＝a_5m+7＝．∴5m＝45，m＝9；

综上，m＝45，或15，或9．

(3)2m是此数列的周期，　 ∴S_128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和．

∴S_2m最大时，S_128m+3最大．

∵S_2m＝，

当m＝6时，S_2m＝31－＝；

当m≤5时，S_2m＜；

当m≤7时，S_2m＜＝29＜．

∴当m＝6时，S_2m取得最大值，则S_128m+3取得最大值为64×+24＝2007．

由此可知，不存在m(m≥3，m∈N*)，使得S_128m+3≥2010成立．

函数问题20． 解 (1)f(x)＝

① 当x＜0时，f(x)＝＞3．因为m＞2．　 则当2＜m≤3时，方程f(x)＝m无解；

当m＞3，由10^x＝，得x＝lg．

② 当x≥0时，10^x≥1．由f(x)＝m得10^x+＝m，　 ∴(10^x)²－m10^x+2＝0．

因为m＞2，判别式＝m²－8＞0，解得10^x＝．

因为m＞2，所以＞＞1．

所以由10^x＝，解得x＝lg．

令＝1，得m＝3．所以当m＞3时，＝＜＝1，

当2＜m≤3时，＝＞＝1，解得x＝lg ．

综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg 和x＝lg ；

当2＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg ．

(2) (Ⅰ)若0＜a＜1，

当x＜0时，0＜f(x)＝＜3；　　　　 当0≤x≤2时，f(x)＝a^x+．

令t＝a^x，则t∈[a²，1]，g(t)＝t+在[a²，1]上单调递减，

所以当t＝1，即x＝0时f(x)取得最小值为3．

当t＝a²时，f(x)取得最大值为．

此时f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，没有最小值．

(Ⅱ)若a＞1，当x＜0时，f(x)＝＞3；

当0≤x≤2时f(x)＝a^x+．令t＝a^x，g(t)＝t+，则t∈[1，a²]．

① 若a²≤，g(t)＝t+在[1，a²]上单调递减，

所以当t＝a²即x＝2时f(x)取最小值a²+，最小值与a有关；

② a²≥，g(t)＝t+在[1，]上单调递减，在[，a²]上单调递增，

所以当t＝即x＝log_a时f(x)取最小值2，最小值与a无关．

综上所述，当a≥时，f(x)在(－∞，2]上的最小值与a无关．

18．解(1)由得 ∴椭圆C的方程为；

(2)A₁(－2，0)，A₂(2，0)，方程为MA₁的方程为：，

即．代入，

得，即．∴=，

则=．即P(，)．

同理MA₂的方程为，　　 即．代入，

得，即．

∴=． 则=．

即Q(，)．

∵P，Q，B三点共线，∴，即．

∴．即．

由题意，，∴．

．

∴．则或．

若，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．

∴，点M始终在定直线上．

数列问题

17．(1)在△ABC中，∠ACB＝60°．∵，

∴，

．

(2)甲车从车站A开到车站C约用时间为(小时)＝60(分钟)，即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为(小时)＝66(分钟)，即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．

(3)10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为，两车的距离等于

　 ＝．

16． (无)

15．解(1)||＝1，||＝1，由＝3，

得²＝9，∴．则．

则²＝，∴＝．

(2)∵，

∴cosθ＝．