5、已知函数f(x)=log₂(x²-ax-a)在区间(-∞,?1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

解：令g(x)=x²-ax-a,则g(x)=(x-)²-a-,　由以上知g(x)的图象关于直线x=对称且此

抛物线开口向上.因为函数f(x)=log₂g(x)的底数2＞1, 在区间(-∞,1-］上是减函数，

所以g(x)=x²-ax-a在区间(-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.

∴

解得2-2≤a＜2. 故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.

4、设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. (1)求a的值； (2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数.

(1)解： ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)， ∴

∴(a-=0对一切x均成立， ∴a-=0，而a＞0,∴a=1.

(2)证明　 在(0，+∞)上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂,

则f(x₁)-f(x₂)= +--= (

∵x₁＜x₂,∴有 ∵x₁＞0,x₂＞0,∴x₁+x₂＞0,∴＞1,

-1＜0.∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂),故f(x)在(0,+∞)上是增函数.

3、若，则(　　 )

A．<<　　　　　 B．<<　　　 C． <<　　 D． <<

[解析]：由，令且取知<<

2、设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则(　)

A． 　 B．　　　 　　 C．　　 D．

[解析]：设，函数在区间上的最大值与最小值分别为

，它们的差为，　 ∴ ，4，选D。

[名师点睛]

指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.

[试题演练]

1、已知函数的图象如图所示，则满足的关系是(　 )

A．　　 　　 B．

C．　　　　 D．

[解析]：由图易得取特殊点

　　　 .选A.

［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。

2、设二次函数，方程的两根和满足．(I)求实数的取值范围；(II)试比较与的大小．并说明理由．

[解析]法1：(Ⅰ)令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

(II)，令．当时，单调增加，

当时，

，即．

法2：(I)同解法1．

(II)，由(I)知，

．又于是

，

即，故．

法3：(I)方程，由韦达定理得

，，于是

．故所求实数的取值范围是．

(II)依题意可设，则由，得

，故．

［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

[名师点睛]

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 　这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.

学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.

[试题演练]

1、设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明.

[解析]：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.

证明：由题意可知.，

∴ ，∴　 当时，.

又，

　　 ∴　 ，综上可知，所给问题获证.

［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。

2.作出下列函数的图象.

(1)y=(lgx+|lgx|); (2)y=;　(3)y=^|x|.

解：(1)y=

(2)由y=,得y=+2. 作出y=的图象，将y=的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得　 y=+2的图象.

(3)作出y=()^x的图象，保留y=()^x图象中x≥0的部分，加上y=()^x的图象中x＞0的部分关于y轴的对称部分，即得y=()^|x|?的图象.其图象依次如下：

[名师点睛]

图象变换：

①y = f(x)　 ②y =f(x)

③y =f(x)④y=f(x)→y=f(|x|),把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

⑤y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意：它是一个偶函数)

⑥伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

注:一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。1．掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

[试题演练]

1、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 (　　 )

A　　　　　　 B　　　　　　 C　　　　　　　　 D

[解析]：选(B)，在(B)中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。

［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。

[名师点睛]

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

[试题演练]

1设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log₂x>0}，则A∩B=(　 )　　　

　A．{x| x>1}　　　 B．{x|x>0}　　　 C．{x|x<-1}　　 D．{x|x<-1或x>1}

[解析]:由集合B得x>1 ,\ A∩B={x| x>1}，故选(A) 。

［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。

2设 ，又记则 ()

A．；　　　　　 B．；　　　　 C．；　　　　　 D．；

[解析]:本题考查周期函数的运算。，

，据此，，，因2010为+2型，故选D.

［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。

3函数，若,则的值为(　　 )

A.3　　　　　　　　 B.0　　　　　 C.-1　　　　 D.-2

[解析]：为奇函数，又故即.

［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。

4设，函数，，，试讨论函数的单调性．

[解析]

对于，当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。

5已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x) (1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，

且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2010］上的所有x的个数.

(1)证明： ∵f(x+2)=-f(x)， ∴f(x+4)=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数.

(2)解： 当0≤x≤1时，f(x)=x, 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.

∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x，即f(x)= x.

故f(x)= x(-1≤x≤1) 又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=(x-2),

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-［-f(-x)］=-f(x)，

∴-f(x)=(x-2)， ∴f(x)=-(x-2)(1＜x＜3). ∴f(x)=

由f(x)=-,解得x=-1. ∵f(x)是以4为周期的周期函数. 故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).

令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤, 又∵n∈Z，∴1≤n≤502.75 (n∈Z),

∴在［0，2 010］上共有502个x使f(x)=-.