4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。

3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。

1.模(长度)：向量的大小，记作||。长度为0的向量称为零向量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

5．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).

(1)求椭圆的方程；　

(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与轴交于点M. 若｜MQ｜＝2｜QF｜，求直线的斜率.　

第八章　 平面向量与空间向量

　　　　　　　　　　　　　 §8.1平面向量及其运算

4.已知倾斜角为的直线过点A(1，－2)和点B，B在第一象限，｜AB｜＝3.

(1) 求点B的坐标；

(2)　 若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为(4,1)，求的值；

(3)　 对于平面上任一点，当点Q在线段AB上运动时，称｜PQ｜的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.

3．直线的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

1．过抛物线²=4的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

(1)设点P分有向线段所成的比为，证明:；

(2)设直线AB的方程是-2+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

[例1]已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=(0<<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

(2)计算出点P、Q的坐标；

(3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　

　 解: (1 ) 显然, 　于是 直线的方程为；

　 (2)由方程组　 解出　 、；　　　　　　　

　 (3),　 　.

　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

[例2]设P是圆M：(-5)²+(-5)²=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值.

解：设P(,)，则Q(18-, -)，记P点对应的复数为+，则S点对应的复数为： (+)·=-+，即S(-, )

∴

其中可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为最小值为，则

|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为.

[例4](02年天津卷)已知两点M(-1，0)，N(1，0)且点P使成公差小于零的等差数列，

(1)点P的轨迹是什么曲线？

(2)若点P坐标为，为的夹角，求tanθ.

解：(1)记P(, )，由M(-1，0)N(1，0)得

　所以　

于是， 是公差小于零的等差数列等价于

　　 即　 　　　　　　　　　　　

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.

(2)点P的坐标为。.

　　 因为 0〈，　　　 所以　　　　　　 .

[例4]舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.

技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.

解：取AB所在直线为轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2).

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为－3+7=0.

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上.

直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.

据已知两点的斜率公式，得k_PA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.

设发射炮弹的仰角是θ，初速度v₀=，则,

∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.

答：方位角北偏东30⁰，仰角30°.

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.

(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

[例5]已知抛物线C：²=4.

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.

解：由抛物线²=4,得焦点F(1,0),准线：=－1.

(1)设P(,)，则B(2－1,2),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=,又设点B到的距离为,则|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)²+(2)²=2(2－2),化简得P点轨迹方程为²=－1(＞1).

(2)设Q(,y),则

|MQ|=　

(ⅰ)当m－≤1,即m≤时，函数=[－(m－)²]+m－在(1，+∞)上递增，故无最小值，亦即|MQ|无最小值.

(ⅱ)当m－＞1,即m＞时，函数=[²－(m－)²]+m－在=m－处有最小值m－,∴|MQ|_min=.

[例6]已知抛物线C的对称轴与轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.

解:设所求抛物线方程为(-)²=(-)( ∈R, ≠0)　 　　 ①

由①的顶点到原点的距离为5，得=5　　　　 　②

在①中，令=0，得²-2+²+=0。设方程的二根为₁,₂，则

|₁-₂|=2.

将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为

(-h)²=(--3)

令=0，得²-2+²++3=0。设方程的二根为₃,₄，则

|₃-₄|=2.

依题意得2=·2，

即　 4(+3)=　　　　 ③

将抛物线①向左平移1个单位，得(-+1)²=(-),

由抛物线过原点，得(1-)²=-　 ④

由②③④得=1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.

∴所求抛物线方程为(-3)²=+4，或(+3)²=4(+4).