13.(抚州一中2009届高三第四次同步考试)

已知函数，当时取得极值5，且．

(Ⅰ)求的单调区间和极值；

(Ⅱ)证明对任意，不等式恒成立．

答案：(Ⅰ)　　　 　

由题意可得：

因此，，

当 时，，当时，，

所以函数单调增区间为，，单调减区间为.

在处取得极大值5，在处取得极小值–27　　 ．　　　　　 (7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在上递增，在上递减，

　　　 所以，时，，

所以，对任意恒有 ．(12分)

12.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

已知m∈R，设p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立；Q：函数f(x)=x³+mx²+(m+)x+6在(-∞，+∞)上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围。

答案：P:，又∵|x₁ –x₂|²=(x₁ +x₂)² -4x₁x₂≤ 9

∴ |m²-5m-3|≥3，--------------------------------------------------------(4分)

m ≤-1或 0≤m ≤5或m≥6，　 -------------------------------------------(6分)

Q：f^/(x)=3x²+2mx+(m+)=0，①△＜0，无极值；②△=0时，列表可知，无极值；

③△＞0时，列表可知，有极值。 ------------------------------------------(10分)解得： m＜-1或m＞4　　

∵P、Q　 同时为真，则：m＜-1或　 4＜m≤5或m≥6 。-----------------------(12分)

11.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

函数f(x)=ax·2^X

(1)若f(x)在x=0处的切线为y=x，求实数a的值；

(2)若a≠0，求函数f(x)的增区间。

答案：(1)f^/(x)= a·2^X+ax·2^Xln2　 --------------------------------------------(2分)

K= f^/(0)=1，得：a·2⁰=1，a=1　　 ---------------------------------------(6分)

(2)令f^/(x)= a·2^X+ax·2^X·ln2＞0，

①当a＞0时，x＞-log₂e，∴f(x)增区间是：(-log₂e，+∞)； ---------------(9分)

②当a＜0时，x＜-log₂e，∴f(x)增区间是：(-∞，-log₂e)；----------------(12分)

10.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

f(x)=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、是以d为公差的等差数列，且a＞0，d＞0，设x₀为f(x)的极小值点。在[1-，0]上，f ^/(x)在x₁处取最大值，在x₂处取最小值，记点A(x₀ ，f(x₀))，B(x₁ ，f^/(x₁))，C(x₂ ，f^/(x₂))。

(1)求x₀的值；

(2)若△ABC有一条边平行于x轴，且面积为2+，求a、d的值。　　　　　 (14分)

答案：(1)∵2b=a+c

f^/(x)=ax²+2bx+c= ax²+(a+c)x+c=a(x+1)(x+)　　 -----------------4分

∵a＞0，d＞0，∴＞1，

令f^/(x)=0，得：x₁=-，x₂=-1，x₁＜x₂，

列表可知，x₁为极小值点，x₂为极大值点；∴x₀=-1；　 ---------------------------6分

(2)f^/(x)的图象是开口向上，对称轴为x=-的抛物线，-＜-1，

由f^/(x)在[1-，0]上的图象可知：最大值为f^/(0)=c，即x₁=0，

f^/(x)在[1-，0]上的最小值为f^/(-)=-，即x₂=-，-----------------8分

∴A(-1，-)，B(0，c)，C(-，-)，　 --------------------------------10分

∵△ABC的一边平行于x轴，∴AC平行于x轴，

∴-=- ∴a=d， ---------------------------------------------------12分

b=(+1)d，c=(+2)d，代入

S_△=|(-1)(C+)|=2+得：

∴d=3，a=3。　 ---------------------------------------------------------14分

9.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

函数(a＞1)

(1)证明:函数f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂；

(2)若不等式成立，求a的范围。　

答案：(1)f(x)=x³-(a+1)x²+ax，

f^/(x)=3x²-2(a+1)x+a，　　 ----------------------------------------------2分

令f^/(x)=0，得x₁，x₂ 其中：x₁≠x₂；可设 x₁＜x₂

列表可知(略)，x₁，x₂是f(x)的极值点。　 ---------------------------------6分

(2)，　 ------------------------------------------------8分

由f(x₁)+ f(x₂)≤0　 得　 a≤或a≥2　 又a＞1　 ∴{a|a≥2} 。------------12分

8.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

已知函数(0＜a＜1)。

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)解不等式f(x)≤log_a(3x)　　　　　　　　　　　　　

答案：(1)(-2，2)　　　　 -------------------------------------------------3分

(2)奇函数　　　 ----------------------------------------------------------6分

(3)　 --------------------------------------------------------8分

∴{x|0＜x≤或1 ≤x ＜2}　　　　　 --------------------------------------12分

7.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

已知函数，其中,为参数,且0≤≤.

(1)当时，判断函数是否有极值；

(2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：(1)当cosθ=0时， 4x³ +在R上为增函数，无极值；----------------2分

(2)f^/(x)=12x(x-)　　　　　　 -------------------------------------4分

令f^/(x)=0，x₁=0，x₂=；　　　　

列表可知：(列表正确)　　　　　

f(x)_极小= f()=-＞0　　　　　

∴＜θ＜　　　 ---------------------------------------------------------8分

(3)a＜0且2a-1＜a　 ∴a＜0　　　

或2a-1＜a且2a-1＞恒成立， ∴ ＜a＜1 。

∴a的取值范围是：a＜0 或＜a＜1 。　 ------------------------------------14分

6.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

已知函数，当时，；当()时，.

(1)求在[0，1]内的值域；

(2)为何值时，不等式在[1，4]上恒成立.

答案：由题意得和是函数的零点且，则(此处也可用韦达定理解)解得：

　　　　　　　　　 ----------------------------6分

(1)由图像知，函数在内为单调递减，所以：当时，，当时，.

在内的值域为　　　　　　　 ---------------------------- 8分

(2)令

因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，

则需要，即

解得当时，不等式在[1，4]上恒成立.　　 ------12分

5.(辽宁省沈阳二中2008-2009学年上学期高三期中考试)

已知函数

(1)当恒成立，求实数m的最大值；

(2)在曲线上存在两点关于直线对称，求t的取值范围；

(3)在直线的两条切线l₁、l₂，求证：l₁⊥l₂

答案：(1)直线y=x与曲线的交点可由

求得交点为(1，1)和(4，4)，此时在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，即恒成立，所以m的最大值为4。

(2)设曲线上关于直线y=x的对称点为A()和B()，线段AB的中点M()，直线AB的方程为：

　 (1分)

又因为AB中点在直线y=x上，所以

得　 9分

(3)设P的坐标为，过P的切线方程为：，则有

直线的两根，

则　 14分

4.(辽宁省沈阳二中2008-2009学年上学期高三期中考试)

已知函数上是增函数。

(1)求实数a的取值范围；

(2)在(1)的结论下，设的最小值。

答案：(1)

上是增函数，

上恒成立，

即恒成立，

所以

(2)设

当

的最小值为

当

最小值为

所以，当的最小值为，当a>3时，