71.(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

(1)求证：点为线段的中点；

(2)求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形为菱形；

(3)除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

(08江苏镇江28题解析)(1)法一：由题可知．

，，

．························································································· (1分)

，即为的中点．····································································· (2分)

法二：，，．·························································· (1分)

又轴，．··············································································· (2分)

(2)①由(1)可知，，

，，

．·························································································· (3分)

，

又，四边形为平行四边形．···················································· (4分)

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．··············································································· (6分)

(3)设直线为，由，得，代入得：

　 直线为．························ (7分)

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．············································· (8分)

72(08黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)

如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

(1)求点，点的坐标．

(2)若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

(3)在(2)的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(08黑龙江齐齐哈尔28题解析)解：(1)

，··················································································· (1分)

，

点，点分别在轴，轴的正半轴上

······························································································· (2分)

(2)求得························································································· (3分)

(每个解析式各1分，两个取值范围共1分)························································· (6分)

(3)；；；(每个1分，计4分)

···························································································································· (10分)

注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．

73(08海南省卷24题)(本题满分14分)如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

(2)求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(08海南省卷24题解析)(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.　　　　　　　　　　 ………………………………(2分)

∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .　　　　　　　

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).　 ……………………(3分)

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. (6分)

　 (2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

　　　　　 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

　　　　　 则BG⊥直线x=2，BG=4.

　　 在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5.　 ……………………(9分)

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

　　　　　 ∴ △DFB≌△DHE (SAS)，

∴ BD=DE.

即D是BE的中点.　　　　　　　　　 ………………………………(11分)

　 (3)　 存在.　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………(12分)

　　　　　 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

　　　　　 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

　　　　　 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得　 .

　　　　　 ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵ 动点P的坐标为(x，)，

∴ x-1=.　　　　　　　　　　 ………………………………(13分)

解得 ，.　　 ∴ ，.

∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…(14分)

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

61.(08浙江义乌)(本题答案暂缺)24.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．

(1)将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当时，求S关于的函数解析式；

(2)在第(1)题的条件下，当直线向左或向右平移时(包括与直线BC重合)，在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

59.(08浙江宿迁)27．(本题满分12分)

如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．

(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；

(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；

(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

(08浙江宿迁24题解析)24．如图，在矩形中，，，点是边上的动点(点不与点，点重合)，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．

(1)求的度数；

(2)当取何值时，点落在矩形的边上？

(3)①求与之间的函数关系式；

②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

　

60(08浙江温州)24．(本题14分)

如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于

，当点与点重合时，点停止运动．设，．

(1)求点到的距离的长；

(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

(08浙江温州24题解析)24． (本题14分)

解：(1)，，，．

点为中点，．

，．

，

，．

(2)，．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

(3)存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，

于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

54.(08浙江嘉兴)24．如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．

(1)求两点的坐标；

(2)求直线的函数解析式；

(3)设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．

试探究：的最大面积？

　

(08浙江嘉兴24题解析)24．(1)，．

作于，

为正三角形，

，．

．

连，，，

．

．　　　　　　　　　　　　

(2)，是圆的直径，

又是圆的切线，．

，．

．

设直线的函数解析式为，

则，解得．

直线的函数解析式为．

(3)，，，，

四边形的周长．

设，的面积为，

则，．

．

当时，．

点分别在线段上，

，解得．

满足，

的最大面积为．

55(08浙江金华)(本题答案暂缺)24. (本题12分) 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD。(1)求直线AB的解析式；(2)当点P运动到点(，0)时，求此时DP的长及点D的坐标；(3)是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

56(08浙江丽水)24．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为(2，4)，直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

(1)求线段所在直线的函数解析式；

(2)设抛物线顶点的横坐标为,

①用的代数式表示点的坐标；

②当为何值时，线段最短；

(3)当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△

　 的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若

不存在，请说明理由．

(08浙江丽水24题解析)24．(本题14分)

解：(1)设所在直线的函数解析式为，

∵(2，4)，

∴, ,

∴所在直线的函数解析式为.…………………………………(3分)

(2)①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

　　　 ∴(0≤≤2).

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时，(0≤≤2).

∴点的坐标是(2，).…………………………………(3分)

②　 ∵==， 又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短. ……………………………………………(3分)

(3)当线段最短时，此时抛物线的解析式为.……………(1分)

假设在抛物线上存在点，使.

　 设点的坐标为(，).

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

∴，∴，∴点的坐标是(0，).

∵点的坐标是(2，3)，∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得，即点(2，3).

∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点，使△与

△的面积相等.………………………(2分)

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，∴、的坐标分别是(0，1)，(2，5)，

∴直线函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，

使△与△的面积相等.　 …………………………………(2分)

综上所述，抛物线上存在点，

　使△与△的面积相等.

57(08浙江衢州)24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。

　

(08浙江衢州24题解析)24、(本题14分)

解：(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，

　　　 ∴，

　　　 ∴

　　　 当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，

　　　 ∴△A´TA是等边三角形，且，

　　　 ∴，，

A´

y

E

　　　 ∴，

x

O

C

T

P

B

A

　　　 当A´与B重合时，AT=AB=，

　　　 所以此时。

　 (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，

　　 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，

A´

y

x

　　 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)

　　 又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)

P

B

E

　　 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。

F

C

　 (3)S存在最大值

A

T

O

　　 1当时，，

　　 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是。

2当时，由图1，重叠部分的面积

∵△A´EB的高是，

∴

　　

当t=2时，S的值最大是；

3当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴

综上所述，S的最大值是，此时t的值是。

58(08浙江绍兴)24．将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为(秒)．

(1)用含的代数式表示；

(2)当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；

(3)连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

　

(08浙江绍兴24题解析)24．(本题满分14分)

解：(1)，．

(2)当时，过点作，交于，如图1，

则，，

，．

(3)①能与平行．

若，如图2，则，

即，，而，

．

②不能与垂直．

若，延长交于，如图3，

则．

．

．

又，，

，

，而，

不存在．

53.(08浙江淮安)(本题答案暂缺)28．(本小题14分)

　　 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)²-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.

　　 (1)写出点P的坐标；

　　 (2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；

　　 (3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

51.(08重庆市卷)(本题答案暂缺)28、(10分)已知：如图，抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

(3)若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

52(08浙江湖州)24．(本小题12分)

已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点(不与重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点．

(1)求证：与的面积相等；

(2)记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

(3)请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(08浙江湖州24题解析)24．(本小题12分)

(1)证明：设，，与的面积分别为，，

由题意得，．

，．

，即与的面积相等．

(2)由题意知：两点坐标分别为，，

，

．

当时，有最大值．

．

(3)解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．

由题意得：，，，

，．

又，

．

，，

．

，，解得．

．

存在符合条件的点，它的坐标为．

50.(08云南双柏)25．(本小题(1)-(3)问共12分；第(4)、(5)问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记)

已知：抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²－10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)求此抛物线的表达式；

(3)求△ABC的面积；

(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

(08云南双柏25题解析)25．(本小题12分)解：(1)解方程x²－10x+16＝0得x₁＝2，x₂＝8　

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，8)

又∵抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(－6，0)

∴A、B、C三点的坐标分别是A(－6，0)、B(2，0)、C(0，8)

(2)∵点C(0，8)在抛物线y＝ax²+bx+c的图象上

∴c＝8，将A(－6，0)、B(2，0)代入表达式y＝ax²+bx+8，得

　解得

∴所求抛物线的表达式为y＝－x²－x+8　

(3)∵AB＝8，OC＝8

∴S_△ABC ＝×8×8=32

(4)依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，　 ∴AC＝10

∵EF∥AC　 ∴△BEF∽△BAC

∴＝　即＝　　 ∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　 ∴FG＝·＝8－m

∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝(8－m)×8－(8－m)(8－m)

＝(8－m)(8－8+m)＝(8－m)m＝－m²+4m　

自变量m的取值范围是0＜m＜8　

(5)存在．　 理由：

∵S＝－m²+4m＝－(m－4)²+8　且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S_最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为(－2，0)

∴△BCE为等腰三角形．

　　　　　 　　　　　　　　　　　　

49.(08四川宜宾)24、(本小题满分12分)

已知:如图,抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1，0)、B(0，3)两点，其顶点为D.

(1)　　　 求该抛物线的解析式；

(2)　　　 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

(3)　　　 △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

(注：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)

(08四川宜宾24题解析)24.解：( 1)由已知得：解得

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1，4)

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)

设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=

=

=

=9

(3)相似

如图，BD=

BE=

DE=

所以, 即： ,所以是直角三角形

所以,且,

所以.

48.(08四川内江)(本题答案暂缺)21．(9分)如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于两点，与轴交于点，与轴交于点，．且点横坐标是点纵坐标的2倍．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)设点横坐标为，面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

9．如图11，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。

⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；

⑵已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；

⑶当时，求四边形PCMB的面积的最小值。

[参考公式：已知两点，，则线段DE的中点坐标为]