2．试题全部答在“答题纸”上，答在试卷上无效。

第I卷 选择题(共48分)

在下列各题的四个选项中。只有一个选项最符合题意。(每小题2分，共48分。)

1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷共100分。考试用时90分钟。

21．[解析](Ⅰ)将函数y＝f(x+1)的图象向右平移一个单位，得到函数y＝f(x)的图象，

∴函数y＝f(x)的图象关于点(0, 0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数．……………………1分

∴f(x)＝a₁x³+a₃x，∴f ' (x)＝3a₁x²+a₃，

由题意得，所以，

则f(x)＝x³－x，经检验满足题意．………………………………………………………3分

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知g(x)＝x，∴当x＞0时，不等式＜e即为

＜e＜1＜．…………………………………………5分

构造函数h(x)＝ln(1+x)－x(x＞0)，则h' (x)＝－1＝＜0，

∴函数h(x)在(0, +∞)上是减函数．

∴x＞0时，h(x)＜h(0)＝0，即x＞0时，ln(1+x)＜x成立，……………………………7分

用换x得，x＞0时，＜成立．∴当x＞0时，＜e．……8分

(Ⅲ) b_n＝，由(Ⅱ)＝＝＜＜．…9分

令＜1，得n²―3n―3＞0，结合n∈N^*得n≥4，

因此，当n≥4时，有＜1，

∴当n≥4时，b_n＞b_n+1，即b₄＞b₅＞b₆＞…，……………………………………………10分

又通过比较b₁、b₂、b₃、b₄的大小知b₁＜b₂＜b₃＜b₄．…………………………………11分

因为b₁＝1，且n≠1时，b_n＝≠1，

所以若数列{ b_n }中存在相等的两项，只能是b₂、b₃与后面的项可能相等．

又b₂＝＝＝b₈，b₃＝＞b₅＝，

所以数列{ b_n }中存在唯一相等的两项，即b₂＝b₈．………………13分

20．[解析]：(Ⅰ)依题意双曲线为，则，

∴，………………………………………………………………1分

∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，其方程可设为(a＞b＞0)．…2分

由2a＝4，2c＝2，得a＝2，c＝1，∴b²＝4－1＝3，则所求椭圆方程为，

故动点P的轨迹E的方程为．…………………………………………………3分

(Ⅱ)设∠F₁PF₂＝，则由m+n＝4，，可知在△F₁PF₂中，………………………………5分

又∵m＞0，n＞0，，即，∴当且仅当m＝n＝2时等号成立． 故cos F₁PF₂的最小值为．……………………………………7分

(Ⅲ) M (－2, 0)．①当l与x轴重合时，构不成∠AMB，不合题意．…………………8分

②当l⊥x轴时，直线l的方程为，代入，解得A、B的坐标分别为而∴∠AMB＝90°．……………………………………9分

猜测∠AMB＝90°为定值，证明如下：

证明：设直线l方程为，由得＝0．…10分

设点A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则………………11分

∴

＝

＝．

∴∠AMB＝90°为定值(A、B与点M不重合)．…………………………………………13分

19．[解析]：(Ⅰ)ξ的可能值为1，2，3，4，5．

P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝×＝；P(ξ＝3)＝××＝；

P(ξ＝4)＝×××＝；P(ξ＝5)＝××××＝；…………2分

ξ的分布列如下表：

ξ	1	2	3	4	5	…………4分
P

∴甲取球次数ξ的数学期望为Eξ＝1×+2×+3×+4×+5×＝．……6分

(Ⅱ)记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，记“乙摸球一次摸出红球”为事件B，

则P(A)＝P(B)＝＝，P()＝P()＝，且A、B相互独立，

根据摸球规则可知，第n次由甲摸球包括如下两个事件：

①第n－1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为a_n－1×；

②第n－1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为(1－a_n－1)×；…………………8分

∵上述两个事件互斥，∴a_n＝a_n－1+×(1－a_n－1)，a_n＝－a_n－1+(n≥2)，……9分

由a_n＝－a_n－1+(n≥2)得a_n－＝－(a_n－1－)(n≥2)，………………………10分

∵甲进行第一次摸球，∴a₁＝1，即a₁－＝，

∴数列{ a_n－}是首项为，公比为－的等比数列，即a_n－＝×，

∴a_n＝+×．……………………………………………………………………13分

18．[解析]：

　(Ⅰ)收益不小于指出的条件可以表示为，

　 所以．……………………………………3分

显然a＞0,又c＞b．

∴时，此时所填面积的最大值为亩………………………………7分

(Ⅱ)设该地现在水面m亩．今年填湖造地y亩，

则,………………9分

即，所以．

因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的…………………………………12分

17．[解析]：设，建立如图所示的坐标系，则

．

∵为的中点，∴．……………2分

(Ⅰ)证明： ，

∵，平面BCE，∴AF∥平面BCE．……………4分

方法二：如右图，补成直棱柱ACD-BC₁D₁，则D₁为DE中点，取C₁D₁中点M，可证M也为CE的中点，得平行四边形AFMB，则AF∥BM，可得AF∥平面BCE．

(Ⅱ)证明： ∵，　

∴，∴．

又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，…7分

∴平面BCE⊥平面CDE．……………………………………………………………8分

方法二：证AF⊥平面，由(Ⅰ) AF∥BM，BM平面．∴平面平面．

(Ⅲ)解：设平面的法向量为，由可得：

　 ，取．………………………………9分

又，设和平面所成的角为，则sin＝＝．

∴直线和平面所成角的正弦值为． …………………………………12分

16．[解析]：(Ⅰ)∵m＝，n＝(ω＞0)，

∴f(x)＝m·n＝…………………………………………2分

∴．

∵函数f(x)的周期为π，∴．…………………………………………5分

(Ⅱ)在△ABC中∴．………………………6分

又∵0＜B＜π，∴＜2B+＜．∴2B+＝．∴B＝．………………8分

∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c．…………………………………………………9分

∴cosB＝cos＝, ∴．

化简得a＝c，……………………………………………………………………………11分

又∵B＝，∴△ABC为正三角形．…………………………………………………12分

9．； 10．[－7, 9]； 11．；12．6；13．=；14．①③④；15．7；(2, 3)．

1．B　 2．D　 3．A　 4．B　 5．D　 6．C　 7．D　 8．A