4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围　　 (　　 )

　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 或

3．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

例1. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．

(1)与是否相互垂直，请证明你的结论；

(2)求二面角的大小；

(3)求证：平面⊥平面．

　 解：(1)与相互垂直.证明如下：

取的中点，连结，交于点；连结．

∵，∴．又∵平面⊥平面，

平面∩平面，∴⊥平面．

在梯形中，可得，

∴，　　　

即，　 ∴ ．

(2)连结，　

由⊥平面，，可得，　

∴为二面角的平面角，

设，则在中，

　 ∴二面角为 ．

(3)取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，

则同“(1)”可得平面．

取的中点，连结，则由，

，得四边形为平行四边形.　 ∴，

∴⊥平面．∴平面⊥平面．

　 解答二：

取的中点，由侧面⊥底面，

是等边三角形，

得⊥底面．

以为原点，以所在直线为轴，

过点与平行的直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则在直角梯形中，，

在等边三角形中，．∴

(1)与相互垂直.证明如下：∵

∴．

(2)连结，设与相交于点；连结．

由得．

又∵为在平面内的射影，

∴，为二面角的平面角．

在中，．

在中，．

∴二面角为．

(3)取的中点，连结，则的坐标为．

又，，

∴

．

∴

∴⊥平面．　 ∴平面⊥平面．

小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．

例2.在的二面角中，，已知、到的距离分别是和，且，、在的射影分别为、，求：(1)的长度；(2)和棱所成的角．

例3.棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．

　　　 (Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；

　　　 (Ⅱ)设点在平面上的射影是，求证：．

例4. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．

(1)证明；　　　　　　　　　　　　　　

(2)求二面角的大小；

(3)求点到平面的距离．

例5. 如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C₁D₁的中点；

(1)CE与BD₁所成角的余弦值；

(2)求证：平面BCE⊥平面BDE；

(3)求二面角B－DC₁－C的平面角的大小

4．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为　　　　　　　 　　．

3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 ，这个命题的真假性是　　　　　　 ．

2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

6．求二面角平面角大小的一般方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

5．二面角的平面角：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

4．二面角的概念：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．