，设得

(Ⅰ)由上得、、

解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、、、、 ……………………2分

∴O在平面PBC内的射影为的重心                          ………… 13分

反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，

（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以。

sin∠APF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。    ………… 9分

设AA₁=a，则AB=a，AF=，AP=，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，…… 7分