例1：给出求1+2+3+4+5的一个算法.

解： 算法1　 按照逐一相加的程序进行

　　 第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

　　 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

　　 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.

　　 算法2　 可以运用公式1+2+3+…+=直接计算

　　 第一步：取=5；

第二步：计算；

　　 第三步：输出运算结果.

算法3　 按照累积相加的程序进行

第一步：让S=0，I=1　

第二步：将S+I的值赋给S，I的值增加1

第三步：如果I比5大,则输出S,否则转第二步.

(说明算法不唯一)

例2：(课本第2页，解二元一次方程组的步骤)

　　 (可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性)

广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。做任何事情都有一定的步骤。例如：描述太极拳动作的图解，就是“太极拳的算法”；一首歌的乐谱，可以称之为该歌曲的算法。从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题。

请大家研究解决下面的一个问题

问题1．写出你在家里烧开水的过程.

一般地，第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.

问题2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。

(通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下)

S₁　 两个小孩同船过河去；

S₂　 一个小孩划船回来；

S₃　 一个大人划船过河去；

S₄　 对岸的小孩划船回来；

S₅　 两个小孩同船渡过河去；

S₆　 一个小孩划船回来；

S₇　 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；

S₈　 两个小孩再同时划船渡过河去。

3．重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.

②用好函数思想方法

对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。

③掌握坐标法

坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。

④对称思想

由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。

⑤参数思想

参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x₀、y₀)即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。

⑥转化思想

解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。

除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视.

2．复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容

曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P(x，y)的纵坐标y和横坐标x之间的关系式，即f(x，y)=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。

1．注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；

题型1：求轨迹方程

例1．(1)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

(2)双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。

解析：(1)(法一)设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得：，，

当与相切时，有　　　　 ①

当与相切时，有　　　　 ②

将①②两式的两边分别相加，得，

即　　　　 ③

移项再两边分别平方得：

　　　　　 ④

两边再平方得：，

整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆.

(法二)由解法一可得方程，

由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，

∴，，∴，，

∴，

∴圆心轨迹方程为。

(2)如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴

∴已知双曲线两焦点为，

∵存在，∴

由三角形重心坐标公式有，即 。

∵，∴。

已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

即所求重心的轨迹方程为：。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法.

例2．(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.

(1)求椭圆G的方程

(2)求的面积

(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.

解(1)设椭圆G的方程为：　 ()半焦距为c;

　 则 , 解得 ,

　 所求椭圆G的方程为：.　　　　　　

(2 )点的坐标为

(3)若，由可知点(6，0)在圆外，

　 若，由可知点(-6，0)在圆外；

　 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

例3．(1)(2009辽宁卷理)以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　 。

[解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

　 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4

　 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5

　 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.

[答案]9

　　 (2)(2009重庆卷文、理)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　　 ．

[解析1]因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即

设点由焦点半径公式，得则

记得由椭圆的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率

[解析2] 由解析1知由椭圆的定义知　　

，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.

[答案]

　　 (3)(2009四川卷理)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(　 )

A.2　　　　　 　　B.3　 　　　　　　C.　　　　　 D.　　　　

[考点定位]本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

[解析1]直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。

[解析2]如图，由题意可知

[答案]A

点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论.

例4．(1)(2009江苏卷)(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

(2)(2009山东卷文)(本小题满分14分)

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;　　　

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解(1)因为,,,

所以,　　 即.　　　

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,　　 且

,

要使,　 需使,即,

所以,　 即且,　 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由(2)知,　 即　　 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由(2)知得,

即有唯一解

则△=,　　 即,　　 ②

由①②得,　 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点,　　　

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

[命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

题型3：证明问题和对称问题

例5．(1)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT。

解 (1)由题意：

　　　　 　，解得，所求椭圆方程为

(2)(2009天津卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

(Ⅰ求椭圆的离心率；

(Ⅱ)直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。

解 (1)由，得,从而

，整理得，故离心率

(2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即

由已知设则它们的坐标满足方程组　　　

消去y整理，得

依题意，

而，有题设知，点B为线段AE的中点，

所以

联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得_.

(3)由(2)知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组

由，解得，故

当时，同理可得_.

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

(3)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.

①求证：“如果直线过点T(3，0)，那么＝3”是真命题；

②写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

解析：

(3)证明：①设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

　　 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。

　　 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

当	y2=2x	得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.
y=k(x－3)

　　 又∵x₁=y, x₂=y,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.

②逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.

点评：由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)满足=3,可得y₁y₂=－6。或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

例6．(1)(2009辽宁卷文、理)(本小题满分12分)

已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(－1，0)(1，0)。

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(2)　　　 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。　

(Ⅰ)解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为。　　　　　

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝(舍去)。

所以椭圆方程为　 ．　　 　　　　　　　

(Ⅱ)证明 　设直线AE方程：得，代入得　　　　　

设E(，)，F(，)．因为点A(1，)在椭圆上，

所以，　　　　　

。　　　　　　　　　　　

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，　　　　　

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。　　　　　　　　　　　 　

(2)(2009福建卷文)(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆　　　 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解　 方法一(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　 故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而

由得0

设则得，从而　　　

即又

由得

故

又　　

当且仅当，即时等号成立　　

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，

　 此时的方程为

　 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或　　

题型4：知识交汇题

例7．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值.

解析：(I)证明1:

整理得:

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