(二)考点预测题

1(2007年宁夏理4)．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

[解析]由得a₁=4, 则a₁₀=a₁+9d=4+9d=10，所以．

[答案]D．

2(2008年天津卷20)．在数列中，，，且()．

(Ⅰ)设()，证明是等比数列；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

[解析](Ⅰ)证明：由题设()，得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

(Ⅱ)解法：由(Ⅰ)

　　　　，

　　　　，

　　　　……

　　　　，()．

将以上各式相加，得()．

所以当时，

上式对显然成立．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或(舍去)．于是．

另一方面，，

　　　．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．

3(2008年辽宁卷21)．在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列()

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

[解析](Ⅰ)由条件得

由此可得

．

猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

4(2008-2009学年江苏省盐城市高三数学上学期第一次月考20)．已知数列和满足,,.

(Ⅰ) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；

(Ⅱ) 当时,试判断是否为等比数列；

(Ⅲ) 设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正

整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

[解析](Ⅰ)当时,

假设是等差数列,由得,即5=2,矛盾.

故对于任意的实数,一定不是等差数列.

(Ⅱ)当时,.而,所以

　=.

又 .

故当时, 不是等比数列.

当时, 是以为首项,为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.

所以,于是,要使成立,

则.

令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.

故的最大值为,最小值为.

欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.

综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有.

(一)等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．具体地：

1． 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．

2．探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．

3．等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题、填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4．求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和．

5．将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．

6．有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点．另外数列与程序框图的综合题也应引起重视．

1(天津市汉沽一中2009届月考文7)．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于(　　 )

A．64　　　　　　 　 B．100　　　　　　 　 　C．110　　　　　　 　 D．120

[解析]设公差为，则由已知得，

．

[答案]B．

2(辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟)．设等差数列的前n项和为，则(　　 )

A．18　　　　　　 B．17　　　　　　 C．16　　　　　　 D．15

[解析]等差数列中，公差，．[答案]A.

3(宁波市2008学年度第一学期期末试卷10)．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为(　　 )

A．　　　　　 B．　　　　 　C．　　　　 D．

[解析]5-2-1-3-5，周期为4，2009=4×502+1，经过2009次跳后它停在的点所对应的数为2．

[答案]B．

4(2008~2009学年福建高考样卷·理)．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(　　 )

A．　 B．　 C．　　 D．

[解析]设公比为，，由或，所以取值范围为．

[答案]D．

5(2008~2009学年福州质检·理)．，则　　　　　　　　

[解析]

．

[答案]2236．

6(温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题理).已知数列的前n项的和满足,则=　　　　 .

[解析]由条件得：， ，则，时，．

[答案]．　　　

7(浙江省杭州市2009年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷理科).数列中，，(是不为零的常数，)，且成等比数列．

(1)求的值；

(2)求的通项公式；

(3)求数列的前项之和．

[解析](1)，，，

因为，，成等比数列，

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　

解得或．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵c≠0，∴．　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

(2)当时，由于

，，，

所以．　　　　　　　

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．　　　　　　　　　　　　 　　　

(3)令　　　　　　　　　　　 　　　

……①

……②

①-②得：　　　　　　　　　　　　　　　　　

8(一中2008-2009月考理18)．已知数列{}中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(1)令求证数列是等比数列;

(2)求数列的通项；

　⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由．

[解析](I)由已知得　

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

(II)由(I)知，

将以上各式相加得：

　　

(III)解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由(I)、(II)知，

又

当且仅当时，数列是等差数列．

9(2008-2009学年山东师大附中高三数学模拟考试试题文科数学21)．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数 (1)用表示； (2),若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)若数列的前项和，记数列的前项和，求． [解析](1)由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为

，即　　

令，得，即

由题意得，所以

(2)因为，所以

即，所以数列为等比数列故 ---8分　

(3)当时，

当时，

所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为

　 ①

①的　 ②

①②得

故 ．　　

10(广州市越秀区2009年高三摸底调研理21).已知(m为常数，m>0且)，设是首项为4，公差为2的等差数列.

　 (1)求证：数列{a_n}是等比数列；

　 (2)若b_n=a_n·，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

　 (3)若c_n=，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？

若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

[解析](1)由题意　　 即

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴　　　 ∵m>0且，∴m²为非零常数，

∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列　　　　　　　　　

(2)由题意，

当

∴　 ①　　　　　　

①式两端同乘以2，得

　 ②　　

②－①并整理，得

　

　

　 =

　 　　…10分

(3)由题意

要使对一切成立，即　 对一切 成立，

①当m>1时，　 成立；　　　　　　　　　

②当0<m<1时，

∴对一切 成立，只需，

解得 ，　 考虑到0<m<1，　　 ∴0<m<　

综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项.

1(2008年广东卷2).记等差数列的前项和为，若，，则(　　 )

A．16　　　 B．24　　　 C．36　　　 D．48

[解析]，，故．

[答案]D．

2(2008年浙江卷6).已知是等比数列，，则=(　　 )

(A)16()　　　　　　　　　　 (B)16()　　　　

(C)()　　　　　　　　　　 (D)()

[解析]由，解得，

　　　 数列仍是等比数列：其首项是公比为，

所以．

[答案]C．

3(2007年天津理8)．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则(　)

A．2　　　　　　 B．4　　　　　　 C．6　　　　　　 D．8

[解析]是与的等比中项，则_，

又，则，(舍负)．

[答案]B．

4(2008年江苏卷10).将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2　 3

4　 5　 6

7　 8　 9　 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 　　　　　．

[解析]前n－1 行共有正整数1+2+…+(n－1)个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个，即为．

[答案]．

5(2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程

　　 　的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

　　 (I)求及 (n≥4)(不必证明)；

　　 (Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

[解析] (I)方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

(Ⅱ)

＝．

6(2007年山东理17).设数列满足，．

(Ⅰ)求数列的通项；

(Ⅱ)设，求数列的前项和．

[解析](I)

，

．

验证时也满足上式，．

(II) ， ，

，

则，

　　　　　 ，所以．

7(2008年安徽卷21)．设数列满足为实数

(Ⅰ)证明：对任意成立的充分必要条件是；

(Ⅱ)设，证明：;

(Ⅲ)设，证明：

[解析](Ⅰ)必要性 ： ，

　　　　　　　　 又 　，即

充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明

　　　　 当时，.假设

　　　　 则，且

，由数学归纳法知对所有成立

　　 (Ⅱ) 设 ，当时，，结论成立

　　　　 当 时，

　　　　　

　　　　　 ,由(1)知，所以 　且 　

　　　　 　

　　　　　

　　　　　

(Ⅲ)设 ，当时，，结论成立

　当时，由(2)知

　．

2．等差数列、等比数列

　(1) 理解等差数列、等比数列的概念．

　(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

　(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项及等差和等比数列性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．

主要考点有：

1．数列的概念和简单表示法

　(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．

　(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．

(二)考点预测题

1(2008年江苏卷5).，的夹角为，， 则　　　 ．

[解析]=，则7．

[答案]7．

2(2007年山东理11)．　 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是(　)

A．　 　　B． 　

C．　　　 D．

[解析]由于 cso∠CAB=||², 可排除A. cos∠ABC=², 可排除B , 而cos(π－∠ACD)=－|cos∠ACD<0 ， |>0 , ∴|≠，可知选C．

[答案]C．

3(广东省2009届高三第一次六校联考(理)16)．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

[解析](Ⅰ)若a⊥b，则sinθ+cosθ＝0， 　　　 　　　　　　　　　　　　　

由此得　 tanθ＝－1()，

所以 θ＝；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得

｜a+b｜＝＝

＝，　　　　　　　　　　　　　　　　

当sin(θ+)＝1时，|a+b|取得最大值，

即当θ＝时，|a+b|最大值为+1．　　　　　　　　　　　　　

4(2009届广东五校高三第二联考试卷文) ．已知向量，，．

　 (1)若的夹角；

　 (2)当时，求函数的最大值．

[解析](1)当时，

(2)

．

∴，故

∴当时，即，所以．

(一)文字介绍

　　 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主．具体如下：

1．向量概念和向量的基本定理

有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型．

2．向量的运算

向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系．主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合．

3．向量与三角函数的综合问题

向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求．命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题．

4．平面向量与函数问题的交汇

平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围．命题多以解答题为主，属中档题．

1(汉沽一中2008~2009届月考文9)．已知平面向量, , 且, 则(　 )

A．　　　 B．　　 C．　　　 D．

[解析]∵,∴,．

B．

2(浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理)5)．已知，点P在直线AB上，且满足，则=(　 )

A、　　 B、　　 C、2　　　 D、3　

[解析]如图所示，不妨设；找共线，对于点P在直线AB上，有；列方程，因此有，即；而，即有，因此时.即有=.

[答案]B．

3(沈阳二中2009届高三期末数学试题).设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC的(　 )

A．内心　　　　　　　 B．外心　　　　 C．重心　　　　 D．垂心　　

[解析]

[答案]D.

4(宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文))．已知在平面直角坐标系中，，

，O为原点，且(其中均为实数)，若N(1，0)，则的最小值是　　　　 .

[解析]由及知，点M与点A、B共线，所以的最小值是点N到直线AB的距离，在直角三角形ABN中求解得．

[答案].

5(福州质检·理).已知，若，则　　　　　　 ．

[解析]由得：，即，所以，．

[答案]．

6(江苏省南通市2008-2009学年度第一学期期末调研测试数学试卷13) .在△ABC中，，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且，则等于　　　 ▲　　　 ．

[解析]当点D无限逼近点C时，由条件知趋向于零，，即△ABC是等边三角形．

[答案] ．

7 ( 江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试10) .已知，且关于的函数在R上有极值，则与的夹角范围为_______.

[解析]，依题意，

即，，又夹角，所以范围为．

[答案]．　　

8(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试).

已知向量

(1)当时，求的值；

(2)求在上的值域．

[解析](1) ，∴，∴

．

(2)

　　

∵，∴，∴

∴　 ∴函数 ．

9(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题).已知向量，

(1)若求的值；

(2)设，求的取值范围.

[解析](1)因

，∴，两边平方得，

∴．

(2)因，∴

又，∴的取值范围为.

10 (温州市十校2008学年高三第一学期期初联考 数学试题(文)) ．已知A、B、C三点的坐标分别为、、．

　 (1)若的值；

　 (2)若，求的值．

[解析](1) 　　

∵　 ∴

即

∴，又∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

(2)

，∴，

两边平方，得，

=．　　　

1(2008年安徽卷3)．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则(　　 )

A．(－2，－4)　 B．(－3，－5)　　 C．(3，5)　　 D．(2，4)

[解析]因为，选B．

[答案]B．

2(2007年山东文5)．已知向量，若与垂直，则(　 C　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．4

[解析]∵2－与垂直. ∴(2－)·=0, 而2－= (3 , n) , ∴－3+n²=0 , 而||² == 4 即 ||=2 . 两个非零向量⊥·=0x₁x₂+y₁y₂=0 , ||² =² = x² +y²．

[答案]C．

3(2008年辽宁卷理5).已知是平面上的三个点,直线上有一点,满足,则等于(　 )

　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

[解析]依题∴

[答案]A．

4(2008年浙江卷理9)．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(　　 )

　　 　A. 1　　　 B. 2 　　C. 　　　D.

[解析]

∴，则的最大值是；

∴，对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可.

[答案]C．

5(2008年天津卷理14)．如图，在平行四边形中，，

则　　　 ．

[解析]令，，则

所以.

[答案]3．

6(2007年天津理15)．如图，在中，，是边上一点，，则　　　．

[解析]在中，有余弦定理得，，

由正弦定理得，则，在中，由余弦定理求得，则，

由余弦定理得，

_．

[答案]．

7(2007年广东文16)．已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．

　　 (1)若，求的值；

(2)若，求sin∠A的值

[解析] (1) ，，

　　　　 　由　 得．

　　　 (2)　 ，， ，

．