即点总在定直线上

[点评]本题第一问是直接待定系数求出方程，第二问本质也是求动点轨迹是一条直线采用交轨法和参数法可求解。另外第二问还可以利用直线的参数方程解题。

4、(广东卷18)．(本小题满分14分)

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．

[解析](1)由得，

当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理 以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，

即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

(四)　 圆锥曲线

1、(08福建卷11)又曲线(a＞0,b＞0)的两个焦点为F₁、F₂,若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|,则双曲线离心率的取值范围为(B)

A.(1,3)　　　　　　　　　 B.　　　　　 C.(3,+)　　 D.

[解]PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a-a，故知e≤3又因为e＞1,选B

[点评]圆锥曲线的几何参量是高考重点，而几何参量中的离心率又是重中之重。

[突破]解决离心率的求值或求范围问题，重要是找到的齐次等式或不等式。

2、(08陕西卷8)双曲线(，)的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( B　 )

A．　　　 B．　　 C．　　 D．

同上易知

3、(08安徽卷22)．(本小题满分13分)

设椭圆过点，且着焦点为

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

解 (1)由题意：

　　　　 　，解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

　设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,则且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是　　　　　 ，　　　

　　　　　　　 ，　　

从而

　　　 ，(1)　 ，(2)

又点A、B在椭圆C上，即

　 (1)+(2)×2并结合(3)，(4)得

即点总在定直线上

方法二

设点，由题设，均不为零。

且

又 四点共线，可设,于是

　　　　　 　　　　　　　　　　(1)

　　　　　 　　　　　　　　　　(2)

由于在椭圆C上，将(1)，(2)分别代入C的方程

整理得

　　　 (3)

　　　 (4)

(三) 直线与圆的位置关系

1、 (2008海南、宁夏文)已知m∈R，直线l：和圆C：。

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

[解](Ⅰ)直线的方程可化为，

直线的斜率，

因为，

所以，当且仅当时等号成立．

所以，斜率的取值范围是．

(Ⅱ)不能．

由(Ⅰ)知的方程为

，其中．

圆的圆心为，半径．

圆心到直线的距离

．

由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．

所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．

[点评]此题考查了直线方程，函数求值域，直线与圆的位置关系。难度不大但很好的综合了以上知识点。

[突破]注意把直线方程中的换成k使表达简单，减小运算量。

(二)圆

1、(2008上海文、理)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：

不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　D　)

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．　

[解]由题意可知Q点一定是圆上的一段弧且纵坐标较大横坐标较小，

故知是上半圆的左半弧。

[点评]此题是一个情景创设题，考查学生的应变能力。

[突破]Q点的纵坐标较大，横坐标较小。

2、(2008天津文)已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为　　 　　

[解]利用圆的标准方程待定系数易得结果。

[点评]此题虽小但考查到了对称、直线与圆相交、圆的方程等知识。

[突破]利用对称求出圆心坐标，利用直角三角形解出半径。

(一)直线

1、(2008四川文、理) 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为( A )

(A)　(B)　(C)　(D)

[解]∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰(C)，(D)

　　　 又∵将向右平移1个单位得，即　 故选A；

[点评]此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

[突破]熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

2、 (2008江苏) 如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点(异于端点)，这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： (　 　)。

[解]画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[答案]

[点评]本小题考查直线方程的求法．

[突破]注意观察出对称性。

(三)高频考点及考题类型

　　 1、直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划(老)等有关的问题，其中要重视“对称问题”及”线性规划问题”的解答。

　　 2、与圆位置有关的问题，一是研究方程组；二是充分利用平面几何知识。重在后者。

3、求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的定义和几何性质(如求离心率的问题)

4、直线与圆锥曲线的位置关系问题，如参数的变量取值范围、最值；几何参量的求值问题。

5、以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系注重应用，考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。

(一)基本知识网络

(二)基本知识点(定义公式)

1、 直线

(1)两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距离公式：.

若直线的斜率为k，则.

　(老教材)定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).则　　　

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

(2)　　 直线的倾斜角(0°≤＜180°)、斜率: 过两点.

当(即直线和x轴垂直)时，直线的倾斜角＝，没有斜率

(3)直线方程的几种形式：

直线名称	已知条件	直线方程	使用范围
点斜式			k存在
斜截式	k,b		k存在
两点式	(x1,y1)、(x2,y2)
截距式	a,b
一般式			A、B不全为0
参数式	倾斜角		t为参数

(4)两条直线的位置关系

①若两条直线的方程分别为　 l₁： y=k₁x+b₁；　 l₂： y=k₂x+b₂．则　

l₁|| l₂⇔k₁=k₂,且b₁≠b₂;　　 　l₁⊥l₂⇔k₁•k₂= -1 ;

当1+k₁k₂≠0时，若q为l₁到l₂的角，则， 若α为l₁和l₂的夹角则，

②如果直线l₁、l₂的方程分别为l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,　 l₂: A₂x+B₂y+C₂=0　 则l₁与l₂

　相交的充要条件：；交点坐标：

. 平行的充要条件：l₁|| l₂⇔A₁B₂-A₂B₁=0,(B₁C₂-B₂C₁)²+(C₁A₂-C₂A₁)²≠0.

　垂直的充要条件：l₁⊥ l₂⇔A₁A₂+B₁B₂=0.

　重合的充要条件：l₁与l₂重合⇔A₁B₂-A₂B₁=B₁C₂-B₂C₁=C₁A₂-C₂A₁=0 (或).

若 A₁A₂+B₁B₂≠0，直线l₁到直线l₂的角是θ，则有tanθ=

(5)直线系方程

①与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).

② 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

③ 过定点(x₁,y₁)的直线系方程是：　 A(x-x₁)+B(y-y₁)=0　 (A,B不全为0)

④ 过直线l₁、l₂交点的直线系方程：(A₁x+B₁y+C₁)+λ( A₂x+B₂y+C₂)=0 (λ∊R) 注：该直线系不含l₂.

(5)距离

①点P(x_o,y_o)到直线l：Ax+By+C= 0的距离　

②两平行线l₁:Ax+By+c₁=0, l₂:Ax+By+c₂=0间的距离公式:d=

2、圆

(1)　　 圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。

(2)　　 圆的方程

① 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²

②一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0,(D²+E²-4F>0)　 圆心坐标：(-，-) 半径r=

③以(x₁,y₁),(x₂,y₂)为直径两端的圆的方程：(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

④圆的参数方程： 　(为参数)

　　 (3) 点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)²+(y-b)²=r²，点M(x₀，y₀)到圆心的距离为d，则有：

几何表示(1)d＞r 点M在圆外；　 (2)d=r 点M在圆上；　　　　　 (3)d＜r 点M在圆内．

　　 代数表示(x-a)²+(y-b)²＞r²点M在圆外；(x-a)²+(y-b)²＝r²点M在圆上；(x-a)²+(y-b)²＜r²点M在圆内；

(4)直线与圆的位置关系

设圆C：(x-a)²+(y-b)²=r²,　 直线l的方程为Ax+By+C=0.1圆心(a,b)到l的距离为d;

　2消去y得关于x的一元二次方程判别式为△，则有：

(5) 圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)²+(y-b)²=r₁²和圆C2：(x-m)²+(y-n)²=r₂²(r₁≥r₂)，且设两圆圆心距为d，则有：

(6)几个常用结论和方法

①弦长的求解：弦心距d、圆半径r、弦长l,则：(根据垂弦定理和勾股定理)

②圆的切线方程的求法

过圆上的点的圆的切线方程

..圆x²+y²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则此点的切线方程为x₀x+y₀y=r²(课本命题)．

..圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r²(课本命题的推广)．

..以(x₀,y₀)为切点的圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以x_ox,y_oy,替换圆方程中的x²,y²,x,y.

过圆外一点M(x_o,y_o)，作圆(x-a)²+(y-b)²=r²的切线，可设切线方程为点斜式：

　 y-y_o=k(x-x_o)，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k。

注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 k值，那么，另一条斜率不存在，即过(x₀,y₀)垂直于x轴的直线x=x₀.

③两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

3圆锥曲线

(1)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质(见后表)

(2)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.

(3)等轴双曲线

(4)共轭双曲线

(5)方程y²=ax与x²=ay的焦点坐标及准线方程.

(6)共渐近线的双曲线系方程.

(7)点、直线与圆锥曲线的位置关系

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

	椭圆	双曲线	抛物线
定义	1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹	1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<e<1)	2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)	与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方 　 　 程	标准方程	(>0)	(a>0,b>0)	y2=2px
参数方程			(t为参数)
范围	─a£x£a，─b£y£b	|x| ³ a，yÎR	x³0
中心	原点O(0，0)	原点O(0，0)
顶点	(a,0),　 (─a,0),　 (0,b) , (0,─b)	(a,0),　 (─a,0)	(0,0)
对称轴	x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b	x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b.	x轴
焦点	F1(c,0), F2(─c,0)	F1(c,0), F2(─c,0)
焦距	2c　 (c=)	2c　 (c=)
离心率			e=1
准线	x=	x=
渐近线		y=±x
焦半径
通径			2p
焦参数			P

4、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯粹性)；

(2) 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。

则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

(1)待定系数法; (2) 直接法(直译法)；(3)定义法; (4)相关点代入法(转移法)；(5)参数法.

3.过两条曲线f₁(x,y)=0与f₂(x,y)=0的公共点的曲线系方程：

(二)考点预测题

1．(广东省实验中学2008年高三第三次模拟考试，数学理科，1)如图所示的韦恩图中，A，B 是非空集合，定义集合A＃B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=}，B={y|y=3^x,x>0},则A＃B=(　　 )

　 A　 {x|0<x<2}　 B　 {x|1<x≤2}　　 C　 {x|0≤x≤1或x≥2}　 D　 {x|0≤x≤1或x>2}

[解析]

[答案]D

2．(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测，数学理科，1)()集合，则　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　 D．

[解析]

[答案]C

3．(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试，数学理科，1)设集合,则满足的集合B的个数是(　　 ).

A．1　　　　　 B．3　　　　　　 C．4　　　　　　 D．8

[解析]，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。

[答案]C

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(一)文字介绍

本部分是高考每年必考内容，考试多以选择填空的形式出现，而且通常只考一题，属于简单题，09高考这种模式应该不会改变，仍将以一道小题考查。主要考查集合的运算及相关知识。

7．(江苏省启东中学2008届高三综合测试二，数学，1)定义集合A*B＝{x|xA,且xB},若A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则A*B的子集个数为(　　 )

A.1　　　　　 B.2　　　　　 C.3　　　　　　 D.4

[解析]本题考查子集的个数问题，A*B＝{1， 7}，A*B的子集个数为

[答案]D