(一)如果a.b为正数.那么有: .当且仅当a=b时.上式取“= 号. 推论: 1.两个正数的积一定时.两数相等时.其和最小. 2.两个正数的和一定时.两数相等时.其积最大.——青夏教育精英家教网—

0 423842 423850 423856 423860 423866 423868 423872 423878 423880 423886 423892 423896 423898 423902 423908 423910 423916 423920 423922 423926 423928 423932 423934 423936 423937 423938 423940 423941 423942 423944 423946 423950 423952 423956 423958 423962 423968 423970 423976 423980 423982 423986 423992 423998 424000 424006 424010 424012 424018 424022 424028 424036 447090

(一)如果a，b为正数，那么有：，当且仅当a=b时，上式取“=”号。

推论：

1.两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。

2.两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

试题详情

(三)利用配方法求极值

对于二次函数，函数解析式经配方可变为

(1)若a>0时，当时，y有极小值为

(2)若a<0时，当时，y有极大值为

对于例题 1还可用配方法求解。

试题详情

(二)利用一元二次方程判别式求极值

对于二次函数y = ax²+ bx + c，(a ≠0)可变形为一元二次方程

　ax²+ bx + c - y=0

用判别式法即：

则由不等式可知 y的极值为：

对于例题 1，我们可以转化为二次方程求解。

将可转化为一元二次方程：

要使方程有解，必使判别式

解不等式得：，即最大值为6m

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？分析与解：设电子碰前的速度为υ₁，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。　　由动量守恒定律有 (1) 　　由能量守恒有 (2) 　　在以上两个方程中，有三个未知数，υ₁、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由(1)式解出代入(2) 　　可得：　　进一步整理可得：(M+m)m-2m²υ₁+(m-M)mυ₁²+2ME=0 　　此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B²-4AC≥0 即　　 4m⁴-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0 　　根据上式整理可得：　　所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。

　　由正交分解可得　　联立(1)、(2)试可得　　上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B²-4AC≥0 　　即　　 ∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ₀，求υ₀与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程X_max。分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。　　　　上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B²-4AC≥0 　　即　　解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0, 　　则　　 θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。