4．欧拉示性数：

在欧拉公式中令，叫欧拉示性数

说明：(1)简单多面体的欧拉示性数．

(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．

4．欧拉定理(欧拉公式)：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：

．

证明:(方法一)

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数(剪掉面用右图中ABCDE表示)均没有变，故所有面的内角总和不变。

⑵设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.

左图中，所有面的内角总和为

＝

＝

⑶右图中，所有面的内角总和为

　　　 ＝

　⑷ ＝

整理得.

(方法二)以四面体为例来说明：

将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变　 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可

　 　对平面图形，我们来研究：

(1)去掉一条棱，就减少一个面例如去掉，就减少一个面．

同理，去掉棱、，也就各减少一个面、．

所以、的值都不变，因此的值也不变

(2)再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下

(如图)．

在此过程中的值不变，但这时面数是，

所以的值也不变

由于最后只剩下，所以，

最后加上去掉的一个面，就得到．

3.　假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V+F－E＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。

2．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？

1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V+F－E＝6+6-10=2

3.欧拉公式的探究

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

正多面体	顶点数	面数	棱数
正四面体	4	4	6
正六面体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12	30
正二十面体	12	20	30

发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．

上述关系式对简单多面体都成立

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续(不破裂)变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等

1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝(详细资料附后)

　2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．

3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．