解：（Ⅰ） 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ，

（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

（Ⅱ）与的关系式；

（Ⅰ）；

例1. 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求

（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）

由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．

所以，，．

而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．

（II）由①有，所以．由③有，所以，