分析 (1)由AB为⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得答案;
(2)由⊙O半径为1,AB=$\sqrt{2}$,可求得∠AOB的度数,又由圆周角定理即可求得∠APB的度数;
(3)根据题意画出图形,作出辅助线,由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答 解:(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠APB=90°.
故答案为:90°;
(2)连接OA,OB,AB,
∵⊙O半径为1,AB=$\sqrt{2}$,
∴OA=OB=1,AB=$\sqrt{2}$,
∴OA2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴当点P在优弧AB上时,∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°,
当点P在劣弧AB上时,∠APB=180°-45°=135°,
∴∠APB的度数为:45°或135°;
(3)解:分别作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别是D、E.
∵OE⊥AC,OD⊥AB,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴∠AOE=60°,∠AOD=45°,
∴∠BAO=45°,∠CAO=90°-60°=30°,
∴∠BAC=45°+30°=75°,或∠BAC′=45°-30°=15°.
∴∠BAC=15°或75°.
点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理及直角三角形的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.
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A. | 20° | B. | 80° | C. | 20°或80° | D. | 10°或40° |
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