抽象函数：（1）已知的定义域为D，求的定义域；（由求得的范围就是）

（2）已知的定义域为D，求的定义域；（求出的范围就是）

直观法：图象在轴上的“投影”的范围就是值域的范围；

配方法：适合一元二次函数

反解法：有界量用来表示。如，，等等。如，。

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

　如求的值域。

单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求值域。

       注意函数的单调性。

基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，

判别式：适合于可转化为关于的一元二次方程的函数求值域。如。

反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程有解，求的范围。

数形结合：要注意代数式的几何意义。如的值域。（几何意义??斜率）

恒成立的最大值；恒成立的最小值；

有解的最小值；　无解的最小值；

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知f(x)=3^x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），求F(x)=[f^－1(x)]²－f^－1(x²)的值域。

分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意F(x)的定义域与f^－1(x)定义域的联系与区别。

解：由图象经过点（2，1）得，，　　　　

　F(x)=[f^－1(x)]²－f^－1(x²)　　　　　　　的定义域为　

　，　，　　　　的值域是

易错点：把的定义域当做的定义域。

变式： 函数的定义域为，图象如图所示，

   其反函数为则不等式

   的解集为                .

【范例2】设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ），

当时，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合题意，舍去）．

当变化时，的变化情况如下表：

递增

极大值

递减

在内有最大值．

在内恒成立等价于在内恒成立，

即等价于，

所以的取值范围为．

变式：函数f（x）是奇函数，且在[―l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，(1) 则f（x）在[－1，1]上的最大值　　1　 ，(2) 若对所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，则t的取值范围是　　　　_　　　　　　 ．

【范例3】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．

（I）求的取值范围；

（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

解：（I）由方程消得．????? ①

依题意，该方程有两个正实根，

故解得．

（II）由，求得切线的方程为，

由，并令，得

，是方程①的两实根，且，故，，

是关于的减函数，所以的取值范围是．

是关于的增函数，定义域为，所以值域为，

（III）当时，由（II）可知．

类似可得．．

由①可知．

从而．

当时，有相同的结果．

所以．

变式：已知函数的最大值是，最小值是，求的值。

分析提示：（1）能化成关于的二次函数，注意对数的运算法则；(2)注意挖掘隐含条件“”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。

解：

    =， ∵，且

∴当即时，

∴     ∴，又最大值是，，

∴   即  ，  ∴    ∴