[教学重点]空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；

[教学难点]空间向量的线性运算及其性质。（本节是课件）

[教学过程]：

一、创设情景

1、平面向量的概念及其运算法则；

2、物体的受力情况分析

二、建构数学

1．空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

运算律：

⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

3．平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

5．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.

例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1）;

（2）;

（3）

解：（1）

（2）

（3）

例2、如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和

解：

备用练习题：O为三角形ABC所在平面外一点，D为BC的中点，

已知、、分别为、、

  （1）求；（2）若G为三角形ABC的重心，求

课堂练习：P71---1,2,3

[补充习题]

1、已知平行六面体ABCD-A^/B^/C^/D^/中，点G在对角线A^/C上且CG:GA^/=x,设、、分别为、、，则=____________

2、P-ANCD是正四棱锥，O是底面的中心，则式子=中，x=___,y=___

3、_四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD上的点，F、G 分别是CB、CD上的点，且，=，求证：四边形EFGH是梯形

   4、空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，=、=、=，试用、、表示、

[答案]

1、(++)

2、2，2

3、略

4、=(++),=-

[情况反馈]

3.1.2共面向量定理

[教学目标]

[教学重点]共面向量的含义，理解共面向量定理

[教学难点]利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题

教学过程：

一、创设情景

1、关于空间向量线性运算的理解

如图：长方体AC₁中，∥，、、共面，而且=+即其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。

    二、建构数学

1、 共面向量的定义

一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；

理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或

2、共面向量的判定

平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有

    共面向量定理  如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得

这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。

三、数学运用

例1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.

求证：MN//平面CDE

       证明：=

    又与不共线

根据共面向量定理，可知共面。

由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.

例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）

试问：P、A、B、C四点是否共面？

解：由可以得到

由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,,共面且具有公共起点A.

从而P,A,B,C四点共面。

    解题总结：

说明1：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。

说明2：(x+y+z) ,x(-)+y(-)+z(-)=,即：

得到x+y+z=，也就是说满足x+y+z=(x+y+z=1)时，P、A、B、C共面

课上练习：教材P74---练习题

四、回顾总结：共面向量定理；

作业：教材P83---7,8,P84---20

[补充习题]

1、已知A、B、C三点不共面，对平面ABC外任意一点O，满足=2--，问点M是否与A、B、C三点共面

2、已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。

3、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，P为AA₁的中点，Q∈AC，且AQ：QC=1：2，求证：PQ∥平面A₁BM

4、已知长方体AC₁中，M为DD₁的中点，N在AC上，且AN：NC=2：1，E为BM的中点，求证A₁、E、N三点共线

[答案]

1、不共面

2、3、4略

[情况反馈]

3.1.3空间向量的基本定理

[教学目标]

[教学重点]空间向量的基本定理及其推论

[教学难点]空间向量的基本定理唯一性的理解

教学过程：

一、创设情景

平面向量基本定理的内容及其理解

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

使

二、建构数学

1、空间向量的基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

证明：（存在性）设不共面，

过点作

过点作直线平行于，交平面于点；

在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使

∴    所以

（唯一性）假设还存在使

∴∴

不妨设即     ∴

∴共面此与已知矛盾   ∴该表达式唯一

综上两方面，原命题成立

由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

三、数学运用

例1 、如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD^/与CE的交点，试分别用向量表示和

解：

例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量

解：

 ∴

3、课堂练习： 课本练习76页练习1，2，3

四、回顾总结：

空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

五、布置作业：教材P83---5,6

 [补充习题]

1、若、与空间任意向量不能构成一个基底，那么、的关系是_______

2、已知、、是空间一个基底，设=-+3+2，=4-6+2，=-3+12+11，求证、、共面

3、正方体AC₁的棱长为a，点M在AD₁上，且AM=2MD₁,若在DC₁上存在点N，在BC上存在点E，使MN∥AE，求BE的长度

4、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,P、M为空间任意两点，若，那么点M一定在哪个平面内，证明你的结论

5、在空间平移△ABC到△A₁B₁C₁，连接对应顶点，=，=，=，M是BC₁的中点，点N在AC₁上，且=2，用基底{，，}表示

[答案]1、共线；2、略；3、；4、BA₁D₁C；   5、=--+

[情况反馈]

3.1.4空间向量的坐标表示

[教学目标]

[教学重点]空间向量的坐标运算

[教学难点]空间向量的坐标运算

[教学过程]

一、创设情景

1、空间向量的基本定理

练习：求证空间四边形对边中点连线和空间四边形对角线中点的连线交于一点且互相平分

已知：空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、DB的中点

求证：EF、GH交于一点且互相平分

证明：[方法一]用原来方法证明EHFG是平行四边形（略）

[方法二]设EF、GH中点分别为P₁、P₂(只要证明P₁与P₂重合)

==

==∴P₁与P₂重合∴EF、GH交于一点且互相平分

2、平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的

坐标， 特别地，，，

二、建构数学

1、空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，

这个基底叫单位正交基底，用表示；

（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，

以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条

数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建

立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标

平面，分别称为平面，平面，平面。

（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；

（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系

2、空间直角坐标系中的坐标：

如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．

    在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯

一的有序实数组，使，有序实数组

叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记

作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．

3、空间向量的直角坐标运算律

（1）若，，

则，

，

，

，

（2）若，，则．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

三、数学运用

例1、已知，求

解：；；

练习：课本78页练习1－6

例2、已知空间三点求下列条件下点D的坐标

(1)A、B、C、D四点围成平行四边形；(2)四边形是梯形

解：设点D(x,y,z)

(1)平行四边形可以为ABCD、ABDC、ACBD三种情况

ABCD为平行四边形时，有为=，(4,-8,2)=(10-x,-y,10-z),D(6,8,8)

ABDC为平行四边形时，=，(4,-8,2)=(x-10,y,z-10),D(14,-8,12)

ACBD为平行四边形时，=，(-12,3,-9)=(x-2,y+5,z-3),D(-10,-2,-6)

总之，点D的坐标为(6,8,8)或(14,-8,12)或(-10,-2,-6)

（2）ABCD为梯形时，和同向且不等，于是λ=且λ>0，λ≠1，(4λ,-8λ,2λ)=(10-x,-y,10-z)，D(10-4λ,8λ,10-2λ) (λ>0，λ≠1)

说明：注意说法的不同。

三、回顾总结：空间向量的坐标表示及其运算

[补充习题]

1、空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)，且A、B、C三点共线，则p=_____,q=____

2、求证=(1,6,-3),=(1,-2,9),=(-4,8,-36)共面

3、设点C(2a+1,a+1,3)在点P（2，0，0）,A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上，求a的值

4、点P在直线AB上，，A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂)(1) 若P为AB的中点，求点P的坐标    (2) 若=λ（λ≠-1）求点P的坐标；(3)若有点C(x₃,y₃,z₃),ABC构成三角形，求其重心G的坐标

（解答略）

[答案]

1、5，2；    2、略；    3、；   4、(1)(,,);(2) (,,)；(3)三坐标的算术平均数

[情况反馈]

3.1.5空间向量的数量积（1）――概念与直接运算

[教学目标]

[教学重点]空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律

[教学难点]用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离

[教学过程]

一、创设情景

平面向量的数量积的有关定义及法则复习，空间呢？

二、建构数学

1、夹角

定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作

规定：

特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。

2、数量积

（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即

＝    

（2）夹角：cos<,>=．

⊥=0（、都不是零向量）

（3）运算律

；；

(4)射影的概念：与平面向量类似，在上的射影为||cos<,>

思考：=0吗？

例1、已知：||=4,||=3,=12,求

（教材P80---例1，解答）

练习；教材P82---5

例2、已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=2,AD=3,AA₁=5,∠BAA₁=∠DAA₁=60⁰,求AC₁的长

(教材P80---例2，解答)

练习1：求AC₁与BD成角的余弦值。（）

说明：注意向量的夹角与直线的夹角不同点

练习2：所有的棱长都相等的正四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，求侧棱PA与BE成角的余弦值（）

[补充习题]

1、平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角为60⁰，则对角线AC₁=________________

2、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是DD₁的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B₁O⊥平面PAC

3、空间四面体OABC中，M、N、P、Q分别是BC、AC、OA、OB的中点，AB=OC，

(1)求证：PM⊥QN;   (2)求；   (3)在方向上的投影

 [答案]

1、；    3、(2)-a²;(3)-

[情况反馈]

3.1.5空间向量的数量积（2）----坐标运算

[教学目的]

[教学重点]坐标运算的应用

[教学难点]数量积的坐标运算

[教学过程]

二、新课内容：

1、公式推导，得出=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

2、特别的，=时，有

3、若，，则，或称两点间的距离公式

4、

三、数学运用

例1已知，，求：

（1）线段的中点坐标和长度；

（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件

解：（1）设是线段的中点，则．

∴的中点坐标是，

．

（2）∵ 点到两点的距离相等，

则,

化简得：,

所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．

点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。

课上练习：教材P82---练习2，3，4

例2、 已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。

分析：可用公式来求面积

解：∵，，∴，，，∴，

∴所以，．

练习：教材P84----19,15

四、回顾总结：空间向量数量积的坐标形式

五、布置作业

教材P83---P84:12,13,14

 [补充习题]1、若P(cosx,sinx,2sinx),Q(2cosx,2sinx,1)求||的范围

2、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P、Q分别是BC、CD上的动点，且PQ=，建立如图的坐标系，确定P、Q的位置，使B₁Q⊥D₁P

[答案]1、[1，3]；   2、P、Q分别是BC、CD上的中点