1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：

①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，则为等差数列；

②若  ，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列中,有关的最值问题――常用邻项变号法求解：  

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意与之间关系的转化。如：

=  ，  =．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，

证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常数(k=2，3，…，n)．

(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．

例2．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3?2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．（04年浙江）设数列{a_n}的前项的和S_n=（a_n-1） (n₊),（1）求a_1;a_2;   (2)求证数列{a_n}为等比数列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)当n>1时,

    得所以是首项,公比为的等比数列.

例4、（04年重庆）设a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n  (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n  (n=1,2---)求数列{b_n}的通项公式，(2)求数列{na_n}的前n项的和S_n。

      解：（I）因

故{b_n}是公比为的等比数列，且 

       （II）由

       注意到可得

       记数列的前n项和为T_n，则

例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列。

⑴求点的坐标；

⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。

⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。

解：（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：。

，

=

（3），

T中最大数.

设公差为，则，由此得

说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。

例6．数列中，且满足   

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，

由题意得，.

（2）若，

时，

（3）

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是，的最大整数值是7。

即存在最大整数使对任意，均有

说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.

五、强化训练

（一）用基本量方法解题

1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a_1,a₃,a₄成等比数列，则a₂= （B ）

A  －4     B －6      C －8         D －10 

（二）用赋值法解题

2、（96年）等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C ）

A  130        B  170       C  210       D  260

3、（01年）设{a_n}是公比为q的等比数列， S_n是{a_n}的前n项和,若{S_n}是等差数列，则q=__1_

4、设数列{a_n}的前项的和S_n= （对于所有n1），且a₄=54,则a₁=__2___

（三）用整体化方法解题

5、（00年）已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₁=0,则有（C ）             

   A  a₁+a₁₀₁>0     B  a₂+a₁₀₀<0    C   a₃+a₉₉=0    D  a₅₁=51

6、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A）                 

    A  13         B  12         C 11            D 10

7、（03年上海）在等差数列{a_n}中a₅=3，a₆=-2,a₄+a₅+…+a₁₀=-49

（四）用函数方法解题                       

8、（04年天津）已知数列{a_n},那么“对任意的nN₊,点P_n(n ,a_n)都在直线y=x+1上”是“{a_n}为等差数列”的（ B）

A必要条件  B 充分条件   C  充要条件  D  既不充分也不必要条件

9、（99年上海）已知等差数列{a_n}满足3a₄=7a₇,且a₁>0,S_n是{a_n}的前n项和，S_n取得最大值，则n=___9______.

10、（01年上海）已知数列{a_n}中a_n=2n-7,(nN₊),++--+=_153___  

（五）用递推方法解题

11、（03年全国）设{a_n}是首项为1的正项数列，且（n+1）a²_n+1-na_n²+a_n+1a_n=0,求它的通项公式是__1/n

12、（04年全国）已知数列{a_n}满足a.₁=1,a_n=a₁+2a₂+3a₃+---+(n-1)a_n-1 (n>1),则{a_n}的通项a_n=______a₁=1;a_n=n2  

13、（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__3___，这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时，；当n为奇数时，

14. （04年全国）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+(-1)^K,a_2k+1=a_2k+3^k,其中k=1,2,3，…。

(1)求a_3,a₅；    （2）求{a_n}的通项公式

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0, a₃=a₂+3¹=3.a₄=a₃+(－1)²=4  a₅=a₄+3²=13,  所以，a₃=3,a₅=13.

    (II)  a_2k+1=a_2k+3^k = a_2k－1+(－1)^k+3^k,    所以a_2k+1－a_2k－1=3^k+(－1)^k,

    同理a_2k－1－a_2k－3=3^k－1+(－1)^k－1,      a₃－a₁=3+(－1).

    所以(a_2k+1－a_2k－1)+(a_2k－1－a_2k－3)+…+(a₃－a₁)

        =(3^k+3^k－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k－1+…+(－1)],

    由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

    于是a_2k+1=a_2k= a_2k－1+(－1)^k=(－1)^k－1－1+(－1)^k=(－1)^k=1.

{a_n}的通项公式为：

    当n为奇数时，a_n­=

    当n为偶数时，