A．           B．

      C．          D．

2．下列说法正确的是                                                                     （ B   ）

      A．方向相同或相反的向量是平行向量

      B．零向量的长度为0

      C．长度相等的向量叫相等向量

      D．共线向量是在同一条直线上的向量

3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则

   等于                                                                                       （  C  ）

      A．                       B．               C．                  D．

4．不共线，当k=                 时，共线.

5．非零向量，则的夹角为   120°                    .

6．在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是

       菱形             .

§5.2  向量的数量积

〖复习要求〗1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的充要条件。2、培养学生的化归思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。

〖双基回顾〗

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量与b，作=, =b,则∠AOB= （）叫做向量与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则?b=????b?cos．

其中?b?cos称为向量b在方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

若=（）,b=（）则e?=?e=??cos  (e为单位向量);

⊥b?b=0（，b为非零向量）;??=;

cos==．

(4) ．向量的数量积的运算律：

?b=b?;()?b=(?b)=?(b);(＋b)?c=?c+b?c．

1、对于任意向量,与的大小关系是______

A  <  B  >  C    D  无法确定

2、已知，且与垂直，则与的夹角为_______

A  60°  B  90°  C  45°  D  30°

3、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(1)

(2)    (3)不与垂直

(4)中，是真命题的有____

A  (1)(2)  B  (2)(3)  C  (3)4)  D  (2)4)

4、已知且起点为(1,2)，终点为，则=____

5、已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是______

A  B  C  D 

1、判断下列各命题正确与否；(1)若，则；(2)若，则当且仅当时成立；(3)对任意向量都成立；(4)对任一向量，有

2、三角形ABC中，A(－5,1)，B(－1,7)，C(1,2)，求：（1）BC边上的中线AM的长。(2)∠CAB的平分线AD的长。(3)cos∠ABC的值。

3、已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在轴上找到一点C，使∠ACB=90°，若不能，说明理由，若能，求出C点坐标。

4、设,求满足的的坐标(O为原点)

5、a、b为非零向量，当a + tb(tÎR)的模取最小值时，（1） 求t的值； （2）求证：b与a + tb垂直

1．设k∈R，下列向量中，与向量一定不平行的向量是                         （    ）

       A．          B．      C．  D．

2．已知点A₁、A₂、A₃、A₄的坐标分别为、、、则的

  坐标与的坐标及的坐标这和等于                                                      （    ）

       A．（x₄－x₁，y₄－y₁） B．（x₁－x₄，y₁－y₄） C．（x₃－x₂，y₃－y₂） D．（x₂－x₄，y₂－y₃）

3．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐

   标为                                                                                                                  （   ）

       A．（1，5）或（5，－5）                        B．（1，5）或（－3，－5）

       C．（5，－5）或（－3，－5）                 D．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）

4．三点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）共线的主要条件是                          （    ）

       A．x₁y₂－x₂y₁=0                                      B．（x₂－x₁）（y₃－y₁）=（x₃－x₁）（y₂－y₁）

       C．x₁y₃－x₃y₁=0                      D．（x₂－x₁）（x₃－x₁）=（y₂－y₁）（y₃－y₁）

5．下列各组向量中：①, _; ②, ; ③, . 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是                  （   ）

       A．①                      B．①③                   C．②③                   D．①②③

6．已知，，若平行，则λ= ±1            .

 (附1～5答案：C A D B A)

§5.3   两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移

〖复习要求〗1、掌握两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用。2、掌握平移公式。3、培养学生用化归思想解决问题的能力。

〖双基回顾〗

1、P分有向线段所成的比

设P₁、P₂是直线上两个点，点P是上不同于P₁、P₂的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。

当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；

2、分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；

则   （≠－1）， 中点坐标公式：．

3、平移公式：

1、已知A(－1,1)，B(3,5)，点P分有向线段所成的比为，则点P的坐标为____

A  (7,－9)   B  (－7,9)  C  (7,9)   D  (－7，－9)

2、把函数的图象F按，平移到F^/，则F^/的函数式为____

A  B  C  D 

3、设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2,5,10，则A点分所得的比为_____

A   B  C  D  －

4、已知，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为_____

A    B  C  D 

1、已知点A，B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为，求点的坐标以及A、B分所成的比。

2、求证：三角形三条中线交于一点，且交点与各顶点的距离等于所在中线长的。

3、函数的图象按向量平移后，图象的解析式为，求向量。

4、设函数。

(1) 试根据函数的图象作出的图象，并写出交换过程；

(2) 的图象是中心对称图形吗？

(3) 指出的单调区间。

5、如图，是的三条高，求证：相交于一点。

证：设交于一点，,

则

∵

∴得，

即， ∴，

又∵点在的延长线上，

∴相交于一点。

1、向量满足，则的最大值和最小值是______

2、若点P分所成的比是，则点A分所成的比是____

3、把一个函数的图象左移个单位，再向下平移2个单位得到的解析式为：

，则原函数的解析式为_______

4、  已知，，与的夹角，则______；

5、  已知，在上的投影是，则______；

6、已知，，，则与的夹角______

§5.4    向量的应用

〖复习要求〗理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。

〖双基回顾〗

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0)a=b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)x₁y₂－x₂y₁=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂), （1）向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; （2）坐标式：a⊥bx₁x₂+y₁y₂=0;

3.设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),则ab==x₁x₂+y₁y₂;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x₁,x₂）、B(x₂,y₂)，则S_ㄓAOB＝；

5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),则ab=x₁x₂+y₁y₂;;

（2）若a=(x,y),则a²=aa=x²+y²,;

1、若，且与模相等，则四边形ABCD是_____

A  平行四边形  B  梯形  C  等腰梯形  D  菱形

2、设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则?等于_____

A  B  C  3  D  －3

3、1┧的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，如图：已知两根细绳与水平分别成30°，60°角，则两根细绳受到的拉力为______

4、某人以时速向东行走，此时正刮着时速的南风，那么此人感到的风向为_____风速为___

1、空中有一气球，在它的正西方A点，测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东45°的B点，测得它的仰角为，A、B两点间的距离为266米，这两点均离地1米，问当测量时，此气球离地多少米？

2、如图，用两根绳子把重10┧的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，

∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子重量)

3、一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为，水流速度。

(1)试求与的夹角(精确到1°)，及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1)；

(2)要使船到达对岸所用的时间最少，与的夹角应为多少？

4、

4、

1、已知：A(2,3)，B(1,4)且，则=______

2、已知，且与为不共线的非零向量，则的面积可表示为_____

3、已知的BC边长的中点M，则=_____

4、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时有相应关系式为：(2)四点等分单位圆时有相应关系式为：

，由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_______

5、已知,且 (1)求与的关系；(2)证明.

6、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.

问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

平面向量单元测试题

1、  在四边形ABCD中，设，则=_____

A  B  C  D 

2、  与平行的单位向量为______

A    B     C  或    D  

3、  已知中，则=____

A   B －  C    D  －

4、  非零向量是的_____

A  充分而不必要条件  B  必要不充分条件  C  充要条件  D  既不充分也不必要条件

5、  已知两点，则点分有向线段所成的比和值分别为_

A  和  B  和8  C  和4  D  和

6、设分别是平面直角坐标系内轴和轴正方向上的两个单位向量，已知

，则四边形ABCD的面积是____

A  20  B  30  C  D  45

7、设A(1,2)，B(3,－1)，C(3,4)，则=____

A   11   B   5   C  －2   D  1

8、将函数按平移使其化简为反比例函数表达式，则=____

A   B  C  D 

9、在中，角A、B、C的对边为，若，则角C等于_

A  30°  B  45°  C   60°  D  120°

10、已知，，且恰有，则A、B、C三点_____

A   构成直角三角形  B  构成等腰三角形  C  共线  D  无法确定

11、在中，已知，若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是______   A  B  C    D 

12、已知中，若，则是_____

A  等腰三角形  B  直角三角形  C  等腰直角三角形  D  等腰或直角三角形

13、已知：A(2,3)，B(1,4)且，则=______

14、已知，且与为不共线的非零向量，则的面积可表示为_____

15、已知的BC边长的中点M，则=_____

16、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时有相应关系式为：(2)四点等分单位圆时有相应关系式为：

，由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_______

17、已知是两个不共线非零向量，若

(1)    求证：A、B、D三点共线；(2)确定实数的值，使与共线。

18、设A、B为单位圆上两点，O为坐标原点，(A、O、B不共线)(1)求证：与垂直；(2)当且时，求的正弦值。

19、海中有岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75°，行海里至C后见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续航行，问有无触礁危险？

20、已知,且 (1)求与的关系；(2)证明.

21、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.

问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

22、设平面向量，若存在不同时为0的两个实数，及实数，使且，(1)求函数关系式；(2)若在是单调函数，求证：。