( 1 ) 若集合，则M∩N　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．{3}　　　　　　　　　　 B．{0}　　　　　　　　　　 C．{0，2}　　　　　　　 D．{0，3}

[答案]B

解: 　∵由，得，

由，得，

∴M∩N，故选B．

( 2 ) 若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．5

[答案]D

解:　 　∵ ，∴，

　　， ，故选D．

( 3 ) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]A

解: ，故选A．

( 4 ) 已知高为3的直棱锥的底面是边长为1的正三角形

(如图1所示)，则三棱锥的体积为　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]D

解:∵

∴．

故选D.

( 5 ) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

解: 　∵，∴，

　 　∵ ，∴，

∴，故选B．

( 6 )函数是减函数的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．(0，2)

[答案]D

解: 　∵

，故选D．

( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、，的四个命题：

①若，点，则与不共面；

②若m、l是异面直线,　 ,　 且，则；

③若, ，则；

④若点，，则．

其中为假命题的是

A．①　　 　 B．②　 　 　C．③　　 　D．④

[答案]C

解：③是假命题，如右图所示

　　　 满足, ，　

　　　 但 　，故选C．

　( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子

　 朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[答案]C

解：满足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以，故选C．

( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像

关于直线对称．现将图像沿x轴向左平移2个单位，

再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线

(如图2所示)，则函数的表达式为

　　　 A．　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　 D．

[答案]A

解：将图象沿y轴向下平移1个单位，再沿轴向右平移2个单位得下图A，从而可以得到的图象，故，

∵函数和的图像关于直线对称，

∴，故选A．

(也可以用特殊点检验获得答案)

(10)已知数列满足，，．若，则

A．　　 　　　　　　　　　 B．3　　　 　　　　　　　　　　 C．4　　　 　　　　　　　　　　 D．5

[答案]B

解法一：特殊值法，当时，

　 　　　　　　由此可推测，故选B．

解法二：∵，∴，，

　　　 　∴是以()为首项，以为公比6的等比数列，

令，则

…

　　 …

∴，∴，故选B.

解法三：∵，∴，

　　　　 ∴其特征方程为，

　　　　　　　 解得　　　 ，，

　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　 ∵，，∴，，

　　　　 ∴，以下同解法二．

22．(本小题满分14分)

　　　 已知方向向量为的直线l过点()和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot

　　　 ∠MON≠0(O为原点).若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

21．(本小题满分12分)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　　

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=||.

20．(本小题满分12分)

已知函数的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为.

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)求函数的单调区间.

解：(Ⅰ)由的图象过点P(0，2),d=2知,所以 ,(x)=3x²+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知

-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.

故所求的解析式为f(x)=x³-3x-3+2,

(Ⅱ) (x)=3x²-6x-3,令3x²-6x-3=0即x²-2x-1=0,解得x₁=1-,x₂=1+,

当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-<x<1+时, (x)<0

∴f(x)=x³-3x²-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.

19．(本小题满分12分)

　　　 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

　 (Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由.

解：(Ⅰ)由题意得：2a₂=a₁+a₂,即2a₂q²=a₁+a₁q,,∵a₁≠0,∴2q²-q-1=0,∴q=1或q=

(Ⅱ)若q=1,则.

当n≥2时,,故

若q=,则,

当n≥2时, ,

故对于n∈N⁺,当2≤n≤9时,S_n>b_n；当n=10时, S_n=b_n；当n≥11时, S_n<b_n

18．(本小题满分12分)

　　 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.

　 (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.

(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=

甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为

P()=P()+P()=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为

17．(本小题满分12分)

已知.

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) ==

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.

若函数的图象与的图象关于　　　　 对称，则函数=

　　　　　 .

(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)

解：若函数的图象与的图象关于y=x对称, 则函数=2^x-3.

15．非负实数x、y满足的最大值为　　　　　 .

解：如右图,在同一平面直角坐标系中画出下列

曲线方程的图象:

2x+y-4=0　　 (x≥0,y≥0)

x+y-3=0　　 (x≥0,y≥0)

它们分别是线段AB,CD

则非负实数x、y满足的不等式组

表示的区域为DMAO,

令x+3y=b,使直线系x+3y=b通过区域DMAO且使b为取得最大值,当且仅当直线x+3y=b过点D(0,3)这时最大值b=9.

14．在△ABC中，∠A=90°，的值是　　　　　 .

解：由,得k=