题目列表(包括答案和解析)

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5.(1)  

  (2)存在实数λ,其值为

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19.湖北省部分重点中学2005年春季期中联考

如图,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, 

   PAADaABaE是线段PD上的点,F是线段AB

   上的点,且

   (I)当时,求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值:

(Ⅱ)是否存在实数λ,使异面直线EFCD所成角为

60°?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明

理由.

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5.(1)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC.  3分

     又∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,

     ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.               6分

(2)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,

∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.  8分   ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,

  10分

由AB2=AE·AC 得   

故当时,平面BEF⊥平面ACD.    12分

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5.[2005年高考重庆地区信息试卷数学试题]

    已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD

ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且

  (Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC

    (Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD

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4.[北 京 四 中2005年数学第一次统测(理科)]  如图,分别是正方体的棱上的点.  (1)若,求证:无论点上如何移动,总有;  (2)若,且平面,求二面角的大小.  4.(I)证法一:连AC、BD,则BD⊥AC,  ∵, ∴MN//AC,∴BD⊥MN.  又∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥MN,  ∴MN⊥平面BDD1.  ∵无论点P在DD1上如何移动,总有BP平面BDD1,  故总有MN⊥BP.  证法二:连结AC、BD,则AC⊥BD.  ∵, ∴MN//AC,∴ MN⊥BD,又PD⊥平面ABCD,  由三垂线定理得:MN⊥PB.  (II)解法一:过P作PG⊥C1C交CC1于G,连BG交B1N于O1,  ∵PB⊥平面B1MN, ∴PB⊥B1N.  又∵PG⊥平面B1BCC1, ∴ BG⊥B1N,∴ΔBB1N≌ΔBCG, ∴ BN=CG,NC=GC1,  ∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1.  同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1.  设AB=3a, 则BN=2a, ∴,  ,  连MO1,∵AB⊥平面B1BCC1, ∴ MO1⊥B1N,  ∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角,  ,∴ .  解法二:设BD与MN相交于F,连结B1F,  ∵PB⊥平面MNB1, ∴ PB⊥B1F,PB⊥MN,  ∴在对角面BB1D1D内,ΔPBD∽ΔBB1F,  设BB1=DD1=3,则PD=2,,∴, 即,故.  ∵MN⊥PB,由三垂线定理得MN⊥BD,MN//AC,MN=2BF=, BN=2,  .  设二面角B-B1N-M的平面角为α,则,  .

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3.解:(1)当  (1分)

证明:取PD中点E,则EF//CD,且

∴四边形ABFE为平行四边形.  (3分)

∴BF//AE. 又AE平面PAD  ∴BF//平面PAD  (4分)

(2)平面ABCD,即是二面角的平

面角  (5分)

为等腰直角三角形,

平面PCD  又BF//AE,平面PCD. 平面PBC,

∴平面PCD⊥平面PBC,即二面角B-PC-D的大小为90°.  (8分)

(3)在平面PCD内作EH⊥PC于点H,由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知:EH⊥平面PBC.  (9分)

代入得:

即点E到平面PBC的距离为  (11分)

点A到平面PBC的距离为(12分)

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3.[哈尔滨三中东北育才大连育明 天津耀华2005年四校高考模拟联考]

如图已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠A=90°且AB//CD,AB=CD.

(I)点F在线段PC上运动,且设为何值时,BF//平面PAD?并证明你的结论;

(Ⅱ)二面角F-CD-B为45°,求二面角B-PC-D的大小;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若AD=2,CD=3,求点A到平面PBC的距离.

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2. 解:(1)取

  

   …………3分

  

  

  

   (2)取

  

  

   的距离,由,则B到面的距离为K到面的距离的2倍   …………9分

  

  

   另法一:利用体积相等,

   另法二:可利用面

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2.[哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2005年高三第二次联合考试数学试卷(理科)]

   已知直三棱柱中,,AB=BC=a,,M为上的点。

   (1)当M在上的什么位置时,与平面所成的角为

   (2)在(1)的条件下求B到平面的距离。

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1.解:(I)

   异面直线AD、BC所成角为。                 4分

   (II)过点P作于E,过点E作于F,连结PF。

  

                                                  8分

  

   设,则在中,

  

   在中,

   在中,

                                                         11分

即P、B两点间距离为时,所在平面成角。  12分

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