3、(2005年内江)教师提出：如图A(1,0)，AB＝OA，过点A、B作x轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。

同学讨论发现：①2 ：3 ②

⑴请你验证①②结论成立；

⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？

⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

2、(北京丰台)在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。

　　 (1)如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；

　　 (2)若⊙经过点M(2，2)，设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

1、(包头)已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=x²+。

　 (1)根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)

x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y1=x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y2=x2+			1		1

　　 (2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y_l和y₂的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；

　 (3)若把y₁=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。

5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。

①　　　　 DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

②　　　　 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2)，

其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3)，其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

例2(连云港)如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．

(1)求和的值；

(2)设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上

滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．

知识点：

解：(1)∵在双曲线上，∥轴，∥轴，

∴A，B的坐标分别，．　　　　　　　　

又点A，B在直线上，∴　　

　 解得或　　　　　　　　　　　　

当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；

当且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．

∴且.

(2)假设存在点使得．

∵ ∥轴，∥轴，∴∥，

∴，∴Rt∽Rt,∴,

设点P坐标为(1＜x＜8＝，则M点坐标为，

∴.又，

∴，即　　(※)　　

∵．∴方程(※)无实数根．

所以不存在点使得．　　　　　　　　　　

练习二

⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．

若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．

若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．

⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据(不要求写出解答过程)．

3(绵阳)如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃ .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，为使S₁、S₂、S₃之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

4.(江苏)取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为，得Rt△AE，如图(2)；

第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图(3)。

利用展开图(4)探究：

(1)△AEF是什么三角形？

(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

3、存 在 性 探 究 题

例1、如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝，∠ACB＝45°，在BC边上有一动点M，过M作MN∥AB，与AC交于点N，连结AM，设BM0＜＜6，△AMN的面积为。(1)求与的函数关系式；

(2)是否存在这样的点M，使＝2：3？

若存在则求之，否则说明理由。

例2、已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且。点P是⊙C上一动点(P点与A、B点不重合)。连结BP、AP。

(1)求∠BPA的度数；

(2)若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

例3、(本小题满分8分)

　 探索下列问题：

(1)在图12-1给出的四个正方形中，各画出一条直线(依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线)，将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

(2)一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S₁和S₂.

①请你在图12-2中相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式(用“<”，“=”，“>”连接)；

②请你在图12-3中分别画出反映S₁与S₂三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式(用“<”，“=”，“>”连接).

(3)是否存在一条直线，将一个任意的平面图形(如图12-4)分割成面积相等的两部分，请简略说出理由.

2、条 件 探 究 题

条件探究题，一般是由给定的结论反过来探究命题成立应具备的条件。

例1、已知：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B的正切值是，AC＝3，点P为直线AC上的一点，当CP为何值时，？

例2、已知：四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(12，0)，点C的坐标为(6，8)，直线：与轴相交于点D。(1)当为何值时，直线恰好平分平行四边形ABCD的面积？(2)若直线与线段CO、AO分别相交于点P、Q，

则当为何值时，△OPQ是等腰三角形？

1、结 论 探 究 题

　　 结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。

例1、有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。

(1)试计算：＝　　　，＝　　　，＝　　　；

(2)根据以上计算结果，请你写出：

＝　　，＝　　　。

例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株(不考虑植株死亡、被打捞等其它因素)。

(1)假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：

(2)假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。(要求写出必要的尝试、估算过程！)

例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。(1)请继续在图中按以上操作对右上角的正方形进行分割，我们称之为第2次操作。(2)继续按第1次操作的方法进行第3次、第4次分割，并把分割后图中小正方形的个数填入下表：(以后每次操作都对右上角正方形进行分割)

操作次数()	1	2	3	4	5	……
小正方形个数()	4					……

(3)进行第100次操作后，图中小正方形的个数是　　　　　　　 。

(4)能否当进行到某次操作后，使图中的小正方形

的个数为2004？若能，请求出操作的次数；

若不能，请说明理由。

例4．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。

(1)上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式。

答：S=　　　　　　　　 。

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和	4	5	6	8	…

(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S=　　　　　　　　 。

(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S=　　　　　　　　 。

15. 已知抛物线y=x²+(2n-1)x+n²-1(n为常数)

　 (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上的一个动点，它位于x轴下方，且在对称轴左侧，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C；

①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由。

14. 下列各图是由小三角形拼凑而成的图形。

　　　　 (1)　　　　　　　　　　 (2)　　　　　　　　　　　　 (3)

　 (1)请观察每一个图形中小三角形的个数，并完成下表：

　 (2)根据上表中的数据，把n作为横坐标，把小三角形的总数m作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点(n，m)其中1≤n≤5；

　 (3)请你猜一猜，上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的表达式。