1．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。

　(Ⅰ)函数是否属于集合？说明理由；

　(Ⅱ)设函数，求的取值范围；

　(Ⅲ)设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。

解：(Ⅰ)若，在定义域内存在，则，

　　　 　∵方程无解，∴。

(Ⅱ)，时，；时，由，得。

∴。　

　 (Ⅲ)∵，又∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，

则，其中。

∴，即。

20、已知函数

(1)，求的解析式；

(2)若函数，函数是，求；

(3)是定义在上的函数，且其为奇函数，其图像关于直线对称

当，求最小正数及函数在上的解析式

解：

(1)

(2) ＝4(可知)

(3) ＝1(略)

；

；

；

。

19、已知数列中，()

(1)若，求；

(2)若，求q, d满足得条件；

(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替运动，第次运动的

位移是，质点到达点，设点的横坐标为，若，求。

解：

(1)

(2),

当＝0，显然成立；

当0，，则；

当，显然成立；

当，

(3)

18．(1)已知数列的通项公式：，试求最大项的值；

(2)记，且满足(1)，若成等比数列，求的值；

(3)(理)如果，且是满足(2)的正常数，试证：对于任意

自然数，或者都满足；或者都满足。

　 (文)若是满足(2)的数列，且成等比数列，

试求满足不等式：的自然数的最小值。

解 (1)，∴，则。即的最大项的值为4。

　 (2)欲使成等比数列，只需成等比数列。

∵，∴只需或即可。解得或。

　 (3)(理)，，∵，∴。又，∴。

　　　　 ∵，∴；或。

　　　 (文)∵不合题意，∴，据题意，，。

17．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f(x₀)，则

　　 称函数y=f(x)在D上封闭。

　 (1)若定义域D₁=(0，1)，判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程

　　　　 f₁(x)=2x-1，f₂(x)=，f₃(x)=2^x-1，f₄(x)=cosx.；

　 (2)若定义域D₂=(1，2)，是否存在实数a使函数f(x)=在D₂上封闭，若存在，

　　　　 求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。

解：(1)∵f₁()=0Ï(0,1)，∴f(x)在D₁上不封闭；(2¢)

　　　　 ∵f₂(x)=-(x+)²+在(0,1)上是减函数，∴0＜f₂(1)＜f₂(x)＜f₂(0)=1，

　　　　 ∴f₂(x)Î(0,1)Þf₂(x)在D₁上封闭；(4¢)

　　　　 ∵f₃(x)=2^x-1在(0,1)上是增函数，∴0=f₃(0)＜f₃(x)＜f₃(1)=1，

　　　　 ∴f₃(x)Î(0,1)Þf₃(x)在D₁上封闭；(6¢)

　　　　 ∵f₄(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f₄(1)＜f₄(x)＜f₄(0)=1，

　　　　 ∴f₄(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf₄(x)在D₁上封闭；(8¢)

　 (2)f(x)=5-，假设f(x)在D₂上封闭，对a+10讨论如下：

　　　　 若a+10＞0,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有Þa=2 (10¢)

　　　　 若a+10＝0，则f(x)=5，此与f(x)Î(1,2)不合，(12¢)

　　　　 若a+10＜0，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有,无解,(14¢)

　　　　 综上可得，a=2时f(x)在D₂上封闭.

16．已知函数的最大值为正实数，集合

，集合。

(1)求和；

(2)定义与的差集：且。

设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。

(3)若函数中，， 是(2)中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。

(1)∵，配方得，由得最大值。

　　　　 ∴，。

　 (2)要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。

②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则

(3)由(2)知

15.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。

(1)求的解析式；

(2)是否存在实数m、n(m<n)，使的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。

.解: (1)由条件易得,∴……7分

　　 (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于

所以3n≤即n≤<1,故二次函数f (x)在区间[m,n]上是增函数,　 从而有

14.已知元素为实数的集合满足下列条件：①1、0；②若，则

若，求使元素个数最少的集合；　　　　　　　　　　　　　　　　　

在上一小题求得的集合中，任取3个不同元素，求使的概率。

(本小题选理科的学生做，选文科的学生不做)

　 若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。

解 ；

使的元素个数最少的集合为

设是中三个不同元素，且使，由于中仅有2个负数，故只有如下两种可能：

所相对的概率为

非空有限集的元素个数是3的倍数

证明如下：

设则且

由于，但无实数根

故　　 同理

若存在，而，则

且

(若中有元素，则利用前述的式可知)

于是

上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止

的元素个数为的倍数。

13．函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？

(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，

所以=1无解或有解为0，

若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，

若有解为0，则b=1，所以a=。

　(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)

又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性)

所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

　(3)|AP|²=(x+3)²+()²，设x+2=t，t≠0，

则|AP|²=(t+1)²+()²=t²+2t+2–+=(t²+)+2(t–)+2=(t–)²+2(t–)+10

=( t–+1)²+9，

所以当t–+1=0时即t=，也就是x=时，

|AP| _min = 3

12. 已知等差数列的首项为，公差为.对于不同　　　 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点(如图所示)，记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.

(1)　　 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；

(2)　　 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；

(3)　　 (理)设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列各项的和S>2010？并请说明理由.

(文)设的公差，是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列各项的和S>2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.

解．(1)，　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(写成，得公比也可)

(2)，，对每个正整数n，　 ……6分

若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+2>4，这是不可能的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　……9分

所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形　　　　　　 ……10分

(3)(理)由(1)知，，　　　　　　　　　　　　 ……11分

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

若　　　　　　　　　　　 ……16分

两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S>2010……18分

说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。

(文)，　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　……11分

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

如果存在p使得，即　　　　　　　　　　 ……16分

两边取对数得：，

因此符合条件的p值存在，，可取p= -11等　　　　　　　 ……18分

说明：通过具体的p值，验证也可。