2．(本小题满分13分)

已知数列中，,数列中，．

(Ⅰ)求数列通项公式；

(Ⅱ)求数列通项公式以及前项的和．

1．(本小题满分13分)

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

(Ⅰ)若的面积等于，求；

(Ⅱ)若，求的面积．

3、画原图形

　 例3 如图4，是边长为1的正方形，又知它是某

个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形．

解：由于是边长为1的正方形，则．

　　　 于是取所在的直线分别为轴．

　　　 画两条垂直的有向直线，分别为轴，为原点，

在轴上，且，再在轴上取点，使，取的中点，连结并延长至使，连结得四边形，即为正方形的原图形，见图5．

　 　　　 至此，可以看出斜二测画法看似是一种比较简单的画图方法，但当我们认真深入其中时，会发现并非都是简单问题．逆向斜二测问题有时还真有点难度，必须细心分析，才能保证万无一失．

2、求面积

例2 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图3则原平面图形的面积为(　　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

解：由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2，在斜二测图形中，且，那么在原图形中，且，因此，原平面图形的面积为，故正确答案为(D)．

　 评析：本题抓住在斜二测画法中平行于轴的线段画为平行于轴，

得到了原图形是平行四边形；画结合原图形中垂直在直观图中画为夹

角，得到原图形中的高，从而得到结论．

4．利用函数单调性知识解(证)数列中的单调性问题

　例4　已知函数，数列满足．

　(1)求数列的通项公式；

　(2)求证数列是递减数列.

　分析：①本题已知函数关系式，并给出了的关系式，将其看作关于的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.

　(1)解：∵，，

　∴，即．.

　∴，　　　　　　　　　　　 (※)

　解得　

　又∵，∴；

　(2)证明：由．

　又∵．.

　∴数列是递减数列.

　评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，(※)式可看成是关于的方程；而求出的通项公式又反映了是关于n的函数.解题过程中这个细节要注意．

3．等差数列的前n项和可看成是关于n的二次函数

　例3　已知等差数列，首项，且，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？

　分析：等差数列前n项和为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.

　解：设等差数列公差为d，前n项和为，

　∵，即，

　∴，

　∴当n=6或n=7时，为最大.

　评注：关于等差数列前n项和最大(小)问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n取何值时，最大(最小).

2．构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题

　例2　等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为(　).

　(A)30　(B)170　(C)210　(D)260

　分析：运用等差数列求和公式，先对进行变形，，则可以看成是关于n的一次函数，再利用点共线的性质求解.

　解：由，可得，

　由此可知数列成等差数列，

　∴三点共线.

　∴，

　∴.

　评注：①可以看成是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解的.运用该法还可以推得在等差数列中若，则．②等差数列的通项公式也可以看成是关于n的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若，则.

1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n的一次函数(公差d≠0时)

　例1已知等差数列，其前n项和为，是否存在常数k，使得成立.

　分析：将看成是n的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.

　解：设存在常数k，使得成立，

　令(p、q为常数)，

　则.①

　又∵,，

　代入①式变为，

　由②，得 或.

　将p=0代入③、④不成立.

　将kp=代入③，得　，

　代入④，得　，即，

　∴，从而得出．

　∴存在常数k，使得成立.

　评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.

3.综合利用平均数和标准差来估计总体

　例3　公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求.为此，公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示(单位：分)：

　17 14 20 12 10 24 18 17　 1　 22 13 19 28　 5　 34　 7

　25 18 28　 1　 15 31 12 11 10　 16 12　 9　 10　 13　 19 10

　12 12 16 22 17 23 16 15　 16 11　 9　 3　 13　 2　 18 22

　19　 9　 23 28 15 21 28 12 11 14 15　 3　 11　 6　 2　 18

　25 5 12 15 20 16 12 28 20 12 28 15　 8　 32 18　 9

　(1)这80名乘客候车时间的平均数是多少？标准差呢？

　(2)你能为公交公司提出什么建议？

　解：(1)这80名乘客候车时间的平均数约为15.5，标准差约为7.5；

　(2)公交公司可以适当增加公交车的数量.

　规律总结：根据问题合理选取样本是统计决策的一个基本前提，在这个前提下，我们可以从所抽取的样本中提取数据信息，如平均数、标准差这些基本的数字特征，然后用这些数字特征对实际生活提供科学的指导与建议.

2.用样本方差和标准差估计总体

　详释：方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.总体方差和标准差较难求得，通常我们是用样本方差和标准差去估计相应总体方差和标准差.

　例2　甲、乙两篮球运动员在本赛季前八场比赛中，每场的投篮得分如下：

　甲　15，18，20，12，22，25，28，20

　乙　26，15，21，14，17，23，19，25

　若你是一个篮球队的主教练，请你对甲、乙两名运动员作一下比较，看哪一位运动员的发挥更稳定.

　解：利用方差来比较两运动员投篮得分的稳定性.

　　 ,

　由于，所以乙运动员每场投篮水平的发挥更具稳定性.

　规律总结：平均数代表了总体的平均水平，而标准差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与标准差从不同的方面估计总体.如下面这道例题.