2010年高考题

10. 已知在数列中，，，(、Î,¹0)。

　 (1)若=2，=-1，求、，并猜测；

　 (2)若是等比数列，且是等比数列，求、满足的条件；

　 (3)一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第次

　　　 运动的位移是，质点到达点。设点的横坐标为，若=0，若，

　　　 求。

解：(1)∵，　 (2¢)

　　　　 ∴猜测: .　 (4¢)

　 (2)(理)由， 得，

　　　　 当时，，显然是等比数列，

　　　　 当时，因为，只有时，才是等比数列

　　　　 ∴Þ，即，或　

　　　　 由， 得(n≥2),

　　　　 当时，(n≥2)，显然是等差数列，

　　　　 当时，，只有时，才是等差数列，

　　　　 ，即，或　

　　　　 综上，、满足的条件是　　　　

　 (3)∵，∴　 (12¢)

　　　　 ∴,…,

　∴. 　　　　∵，∴

9．已知函数，，

(Ⅰ)当时，若在上单调递增，求的取值范围；

(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是 的最小值；

(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：(Ⅰ)当时，，

若，，则在上单调递减，不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。

(Ⅱ)若，，则无最大值，故，∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

又取最小值时，，依题意，有，则，

∵且，∴，得，此时或。

∴满足条件的实数对是。

(Ⅲ)当实数对是时，

依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。

如对，，

此时，，

故。

8．已知为正常数。

　 (1)可以证明：定理“若、，则(当且仅当时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论(无需证明)；

　 (2)若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性(无需证明)；

　 (3)对满足(2)的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在

　 上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：(1)若、、，则(当且仅当时取等号)。

　 (2)在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即时，，

又∵，∴。　　　　　 综上，得 。

　 易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。

故猜测：时，单调递减；时，单调递增。

(3)依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。

　　 如对，，此时，

　 即 　。

7．已知复数，

　 (1)当时，求的取值范围；

　 (2)是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解：(1)∵，∴ 。

　 (2)(理)∵，∴为纯虚数，∴

6、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。

　　 设数列的前项和，

(1)求数列的通项公式；

(2)试构造一个数列，(写出的一个通项公式)满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；

(3)设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令(为正整数)，求数列的变号数。

解：(1)∵的解集有且只有一个元素，∴，

　　 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。

　　 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。

　　 综上，得，，∴，∴

　 (2)要使，可构造数列，∵对任意的正整数都有，

　　　 ∴当时，恒成立，即恒成立，即，

　　　 又，∴，∴，等等。

　 (3)解法一：由题设，

∵时，，∴时，数列递增，

∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；

又∵，即，∴此处变号数有个。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

解法二：由题设，

　　　 时，令；

　　　 又∵，∴时也有。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

5．设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和 的积函数。

　 (1)求函数的表达式，并求其定义域；

　 (2)当时，求函数的值域；

　 (3)是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：(1)，。

　 (2)∵，∴函数的定义域为，令，则，，

　　　 ∴，

∵时，，又时，递减，∴单调递增，

　　　 ∴，即函数的值域为。

　 (3)假设存在这样的自然数满足条件，令，则，

　　　 ∵，则，要满足值域为，则要满足，

　　　　 由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，

　　　 　∴，

　　　 又在上是增函数，在上是减函数，∴，

　　　 综上，得 　。

4．已知数列中，且点在直线上.

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)若函数求函数

的最小值；

　 (3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得

对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

3．已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列；

　 (3)求的最大值。

　解：(1)∵等差数列中，公差，

∴。

　 (2)，，令，即得，

　　　 数列为等差数列，∴存在一个非零常数，使也为等差数列。

　 (3)，

　 　∵，

即， ∴时，有最大值。

2．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：

(1)求的值，并证明对任意的，都有；

(2)设当时，都有，证明在上是减函数；

(3)在(2)的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。

解：(1)

　 (2)∵当时，都有…………6分

　　　 　∴当，即时，有，

　　 即

∴在上是减函数。

(3)∵在上是减函数，{}是递增数列∴数列是递减数列。

∴集合中的最大元素为，最小元素为 。