22、解：(1) ，　　 ，……………………(2分)

由得……………………(3分)

即数列是以为首项，以为公比的等比数列

……………………(4分)

注：用数学归纳法也可以。

(2)

要证明只需证明

即证即证明成立……………………(6分)

构造函数……………………(7分)

则，……………………(8分)

当时，，即在上单调递减，所以

，即对一切都成立，

……………………(10分)

(3)

由(2)可知

……………………(12分)

利用错位相减法求得

……………………(14分)

22．(天津市天津一中2010届高三第四次月考理科)设数列满足且

(1)求,并求数列 的通项公式；

(2)对一切，证明成立；

(3)记数列的前项和分别是，证明

20．解：(1)因为

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………1分

再分别令n=2，n=3，解得　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

　 (2)因为

所以

两式相减得

所以

又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列

所以，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

　 (3)因为，

所以

所以①

　　 ②

①-②得：

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

若

则

即所以，解得，

所以满足不等式的最小n值6，　　　　　　　　　　　　　 …………12分

20．(天津市六校2010届高三第三次联考文科)(本小题满分12分)

已知数列的前n项和为，且满足

　 (1)求的值；

　 (2)求数列的通项公式；

　 (3)若的前n项和为求满足不等式　　 的最小n值.

21．解：(I)∵点在函数的图像上，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

当

当满足上式，

所以数列的通项公式为　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　 (II)由求导得

∵在点处的切线的斜率为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

用错位相减法可求得　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　 (III)

又中的最小数，

的公差是4的倍数，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………11分

有

解得m=27.

所以

设等差数列的公差为

，即为的通项公式　　　　 …………14分

21．(天津市六校2010届高三第三次联考理科)(本小题14分)

　　　　 已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图像上，且在点处的切线的斜率为

　 (I)求数列的通项公式；

　 (II)若，求数列的前n项和

　 (III)设等差数列的任一项，其中c₁是的最小数，求数列的通项公式.

22．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟文)(本小题满分14分)

已知正项数列{}满足()

(1)求，；

(2)求证：

　　　　 (3)求证：＞；

(1)∵ ，

　　　 　令得　 ∴ 　………………1分

　　　 令得 　∴

　 ∵ 　∴ 　……………………………3分

(2)∵ 　∴ 是方程的一个根　 ………4分

设，则，。

　　 ∴ 方程0在(0，1)内至少有一个根。 …………………6分

　　 ∵ 　∴ 在(0，+∞)上是增函数，…………7分

　　 ∴ 方程0在(0，+∞)上有唯一的根，且根在(0，1)内，

　　 ∴ ∈(0，1)　 ∴ 　………………………………9分

(3)∵ ，∴

　　 两式相减得　 …………………10分

若≤，∵ 　则≥＞，

从而有

=，　 ……………………………13分

与矛盾，

∴ ＞　 ……………………………………………14分

22．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟理)(本小题满分14分)

已知正项数列{}满足()

(1)求，；

(2)求证：

　　　　 (3)求证：。

　解： (1)∵ ，

　　　 　令得　 ∴ 　………………1分

　　　 令得 　∴

　 ∵ 　∴ 　……………………………3分

(2)∵ 　∴ 是方程的一个根　 ………4分

设，则，。

　　 ∴ 方程0在(0，1)内至少有一个根。 …………………6分

　　 ∵ 　∴ 在(0，+∞)上是增函数，…………7分

　　 ∴ 方程0在(0，+∞)上有唯一的根，且根在(0，1)内，

　　 ∴ ∈(0，1)　 ∴ 　………………………………9分

(3)当时，原式成立。………………………10分

当时，∵ 且

∴ 　……………………11分

∴

　 ＜

　 =

　 =1-　 ………………………………………13分

　 综上，∴ 　　…………………………14分

21. (天津市河西区2010届高三第一次模拟理科)(14分)

已知数列中，，且点在直线上。

求数列的通项公式；[来源:高&考%资(源#网

若函数……+，求函数的最小值；

设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的模式，使得……+·对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由。

22．解：(Ⅰ)∴………………1分

　　　 当时，

　　　 两式相减得：，

　　　 即是等比数列．∴；　　　 　　……………………4分

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,，

　　　 若为等比数列，则有　　　　　　　　　　 ……………………5分

　　　 而，， ……………………6分

　　　 故，解得，……………………………7分

　　　 再将代入得成立，

　　　 所以．　　　 ………………………………………………………………8分

　　　 (III)证明：由(Ⅱ)知，

　　　 所以，………………… 9分

　　　 　　　 ……………… 11分

　　　 所以　　 …………………… 12分

　　　 …………………………14分