21．(本小题满分14分)

(理科学生做)如图，已知正三棱柱ABC－ ，D是AC的中点，∠DC = 60°

　　 (Ⅰ)求证：AB₁∥平面BD；

(Ⅱ)求二面角D－B－C的大小。

(文科学生做)如图，直三棱柱ABC－，AB = AC = 1，AA = 2，∠ = 90°，D为BB的中点。

　　 (Ⅰ)求证：AD⊥平面ADC₁；

(Ⅱ)求异面直线CD与直线AC所成角的余弦值。

解．(理科)

(Ⅰ)连结B交BC于O，则O是BC的中点，连结DO。

∵在△AC中，O、D均为中点，

∴A∥DO…………………………3分

∵A平面BD，DO平面BD，

∴A∥平面BD。…………………6分

(Ⅱ)设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

　　 ∵∠DC = 60°，∴C= 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B于F，连结DF，则 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………10分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE·sin

∴在Rt△DEF中，tanDFE =

∴二面角D－B－C的大小为arctan………………………14分

(文科)解法一：

　　 　(Ⅰ)∵A⊥平面，

∴AA₁⊥A₁

又C₁⊥,

∴A₁⊥平面BA

∴AD⊥

∵AD =,D =, A= 2,

由此,

得D⊥AD

∵∩D =

∴AD⊥平面D ……………………7分

(Ⅱ)连结A交C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥D

　 ∴∠CEF或它的补角就是异面直线D与直线C所成的角

由(Ⅰ)知，AD⊥，则AD⊥AC，又AF = AD =在△CEF中，

CE =，EF =，CF =

cos CEF =

则异面直线D与直线C所成角的余弦值为…………14分

法2:取CC₁及A₁C₁中点EF.连EF、FB、FB₁ ,易求得

,,=

=,所以

=

=

所以异面直线D与直线C所成角的余弦值为

19(本小题满分12分)6名同学站成一排：

①甲不站排头也不站排尾的不同排法有多少种？

②甲不站排头，且乙不站排尾的不同排法有多少种？

③甲、乙、丙不相邻的不同排法有多少种？

④甲、乙不相邻而且丙、丁也不相邻的排法有多少种?

解:①A·A=20×24=480(种)　　　 　②A－2A+A=504(种)

③A·A=144(种)

④法1:

则

解得

法2:排法数=-甲、乙相邻排法数-丙、丁相邻排法数+甲、乙相邻且丙、丁相邻排法数

即=336

法3:( 用插入法,分二类插)

法4:甲、乙不相邻-甲、乙不相邻且丙、丁相邻

20．已知集合，是到的映射，

(1)若中每一个元素都有原象，这样不同的映射有多少个？

(2)若中元素0必无原象，这样的映射有多少个？

(3)若满足，这样的映射有多少个？

解(1)　 (2)　 (3)

法2:===

有=31

18．a.将正整数n表示成k个正整数的和(不计较各数的次序)，称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为，则＝______8______．

b.　 720能被_____24_______个不同的正偶数整除,所有这些正偶数的和为_____2340_______　 (a、b二题任选一题)

17. 3个打字员为4家公司服务，每家公司各有一份文件要录入，则每个打字员都收到文件的概率为______4/9______.

　　　 (C₄² C₂¹ )C₃¹ /3⁴　　 先把文件分为2，1，1三堆，然后把这三堆文件分给三个打字员。

16. 展开式中含项系数为_____________。

(法一)

(法二)时

∴ 分子项系数为

∴ 的项系数为

15.若则

　　 1　　　 ， 　　　　　　　。

14.从装有粒大小、形状相同但颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球(至少一粒)，设倒出奇数粒玻璃球的概率为，倒出偶数粒玻璃球的概率为，那么( A　 )

A、　　　　 B、　　　　 C、　　　　 D、以上都不对

13.从0,1,2,…,9这10个数字中，选出3个数字组成三位数,其中偶数个数为( A )

　 (A)328　　　　　 (B)360　　　　 　(C)600　　 　(D)720

12．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率( B　 )

A.　　 B.　　　 C.　　　 D.

11.展开式中，常数项是　　　　　　　　　 　　　　　(　 A　 )

　　 (A)　　 (B)　　 (C) 　(D)