22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，

由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，

设平均每天所支付的总费用为y₁元，

则y₁＝＋1800×6

＝＋9x＋10809

≥2＋10809＝10989，

当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．

设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y₂元，

则y₂＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90

＝＋9x＋9729(x≥35)．

令f(x)＝x＋(x≥35)，f′(x)＝1－>0，

即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数，

∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y₂<10989.

∴该厂应接受此优惠条件．

21．(本小题满分12分)已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n＝(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)记c_n＝a_nb_n，求证：c_n＋1≤c_n；

(3)求数列{c_n}的前n项和T_n.

解：(1)因为a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的两根，且数列{a_n}的公差d>0，

所以a₃＝5，a₅＝9，公差d＝＝2.

所以a_n＝a₅＋(n－5)d＝2n－1(n∈N^*)．

当n＝1时，b₁＝S₁＝，解得b₁＝.

当n≥2时，b_n＝S_n－S_n－1＝(b_n－1－b_n)，所以＝(n≥2)．

所以数列{b_n}是首项b₁＝，公比q＝的等比数列，

所以b_n＝b₁q^n－1＝(n∈N^*)．

(2)由(1)，知c_n＝a_nb_n＝，c_n＋1＝，

所以c_n＋1－c_n＝－＝≤0.

所以c_n＋1≤c_n.

(3)由(2)，知c_n＝a_nb_n＝，

则T_n＝＋＋＋…＋，①

T_n＝＋＋＋…＋＋，②

①－②，得T_n＝＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋…＋)－＝－，化简得T_n＝1－.

故数列{c_n}的前n项和T_n＝1－(n∈N^*)．

20．(本小题满分12分)已知数列{a_n}满足：a₁＝1，a₂＝2，且a_n＋2＝(2＋cosnπ)(a_n－1)＋3，n∈N^*.

(1)求通项a_n；

(2)设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m，n(m≤3，n≤3)，使得S_2n＝mS_2n－1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对(m，n)，若不存在，请说明理由．

解：(1)当n是奇数时，cosnπ＝－1；当n是偶数时，cosnπ＝1.

所以当n是奇数时，a_n＋2＝a_n＋2；当n是偶数时，a_n＋2＝3a_n.

又a₁＝1，a₂＝2，所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，…是首项为1，公差为2的等差数列；

a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．

所以a_n＝.

(2)由(1)得S_2n＝(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)＋(a₂＋a₄＋…＋a_2n)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(2＋6＋…＋2×3^n－1)＝3ⁿ＋n²－1.

S_2n－1＝S_2n－a_2n＝3ⁿ＋n²－1－2×3^n－1＝3^n－1＋n²－1.

若使S_2n＝mS_2n－1的正整数对(m，n)存在，即满足3ⁿ＋n²－1＝m(3^n－1＋n²－1)的正整数对(m，n)存在．当n＝1时，3¹＋1²－1＝m(3^1－1＋1²－1)，m＝3；当n＝2时，3²＋2²－1＝m(3^2－1＋2²－1)，m＝2；当n＝3时，3³＋3²－1＝m(3^3－1＋3²－1)，这时不存在正整数m.故满足题意的正整数对(m，n)只有(3,1)，(2,2)．

19．(本小题满分12分)记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝n²＋(1－)n(c为常数，n∈N^*)，且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．

(1)求c的值；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和T_n.

解：(1)由S_n＝n²＋(1－)n得，当n＝1时，a₁＝S₁＝1；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝1＋(n－1)c，

故a_n＝1＋(n－1)c.

而a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列，即(1＋c)²＝1＋4c，且c≠0，∴c＝2.

(2)由(1)知，a_n＝2n－1，

∴b_n＝＝＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.

18．(本小题满分12分)已知数列{log₂(a_n－1)}(n∈N^*)为等差数列，且a₁＝3，a₃＝9.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明：＋＋…＋<1.

解：(1)设等差数列{log₂(a_n－1)}的公差为d.

由a₁＝3，a₃＝9得log₂2＋2d＝log₂8，即d＝1.

∴log₂(a_n－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即a_n＝2ⁿ＋1.

(2)∵＝＝，

∴＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝＝1－<1.

三、解答题

17．(本小题满分10分)[2014·咸阳模拟]已知等比数列{a_n}中，a₃－a₄是a₂与－a₃的等差中项，且a₁＝，q≠1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)已知数列{b_n}满足：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝2n－1，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n.

解：(1)由已知得2(a₃－a₄)＝a₂－a₃，故q＝(q≠1)．

因为a₁＝，所以a_n＝.

(2)当n＝1时，a₁b₁＝1，b₁＝2，因为a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝2n－1，

所以当n≥2时，a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_n－1b_n－1＝2(n－1)－1，

两式相减，得a_nb_n＝2，得b_n＝2^n＋1.

所以b_n＝.

所以S_n＝2^n＋2－6(n∈N^*)．

16．已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，设数列{a_n}的前n项和为S_n.若不等式S_n>ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：设等比数列{a_n} 的公比为q，因为a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，所以a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，所以q＝＝＝2，所以2a₁＋a₁＝9，所以a₁＝3.所以a_n＝3·2^n－1，n∈N^*，故S_n＝＝＝3(2ⁿ－1)，即3(2ⁿ－1)>k·3·2^n－1－2，所以k<2－.令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，所以f(n)_min＝f(1)＝2－＝，所以k<，故实数k的取值范围为(－∞，)．

答案：(－∞，)

15．[2014·成都五校联考]正项数列{a_n}中，a₂＝3，且S_n＝(n∈N^*)，则实数p＝________.

解析：当n＝2时，S₂＝＝a₁＋a₂.

又∵a₂＝3，∴a₁＝.

又n＝1时，S₁＝＝a₁，

将a₁＝代入整理得p²＋14p－15＝0，

∴p＝1或p＝－15.

当p＝－15时，a₁<0，∴舍去，即p＝1.

答案：1

14．设{a_n}为公比q>1的等比数列，若a₂₀₁₂和a₂₀₁₃是方程4x²－8x＋3＝0的两个根，则a₂₀₁₃＋2a₂₀₁₄＋a₂₀₁₅＝________.

解析：由根与系数的关系知a₂₀₁₂＋a₂₀₁₃＝2，a₂₀₁₂·a₂₀₁₃＝，并根据q>1，解得a₂₀₁₃＝，a₂₀₁₂＝，所以q＝＝3，所以a₂₀₁₃＋2a₂₀₁₄＋a₂₀₁₅＝(a₂₀₁₃＋a₂₀₁₄)＋(a₂₀₁₄＋a₂₀₁₅)＝q(a₂₀₁₂＋a₂₀₁₃)＋q²(a₂₀₁₂＋a₂₀₁₃)＝3×2＋3²×2＝24.

答案：24

二、填空题

13．已知等差数列{a_n}的公差d＝1，前n项和为S_n.若S₅>a₁a₉，则a₁的取值范围为________．

解析：因为数列{a_n}的公差d＝1，且S₅>a₁a₉，所以5a₁＋10>a＋8a₁，即a＋3a₁－10<0，解得－5<a₁<2，即a₁的取值范围为(－5,2)．

答案：(－5,2)