20、(13分)已知椭圆经过点，过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于两点，且，当四边形的面积S=时，求直线L的方程．

解：(Ⅰ)设F(c,0)，则直线L的方程为2x-y-2c=0，∵坐标原点O到L的距离为，

∴，c=1。………………………………………………………2分

∵椭圆经过点,∴,b=1,由得。

∴椭圆的方程为　　 ……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线L过点F(1,0)，设其方程为y=k(x-1)()，点A()，C()，

解得，。

∴，……………………………………………6分

=……………………………8分

∵过F的另一直线交椭圆于两点，且， ，

∴直线BD的方程为y=(x-1) 。

把式中k换成，类比可得，…………………………10分

∴四边形的面积， …………11分

解得， ∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 。　 　………………………13分

19、(14分)已知函数f(x)=在x=-2处有极值.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围。

解: (Ⅰ)　　　 …………………………………………1分

由题意知: ,得a=-1，………………………2分

∴，

令，得x<-2或x>0, 　　　　　………………………4分

　令，得-2<x<0, 　　　　　　　………………………5分

∴f(x)的单调递增区间是(-¥，-2)和(0，+¥)，

单调递减区间是(-2，0)。…………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)= ，

f(-2)=为函数f(x)极大值，f(0)=b为极小值。…………………8分

∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，

∴或或或或　 ，

即　 ，…………………………………………………………13分

∴，即b的取值范围是。　 …………………14分

18、(14分)已知数列的前n项和为，，,等差数列中，，且，又、、成等比数列.

(Ⅰ)求数列、的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前n项和T_n.

解：(Ⅰ)∵，，

∴，

　　　 ∴，　　

∴，　　

∴　　　　　 …………………………3分

　　 而，∴

∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴　　　　　　　　 …………………………5分

∴，

在等差数列中，∵，∴。

又因、、成等比数列，设等差数列的公差为d，

∴()　　 ………………………………7分

解得d=-10,或d=2, ∵，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b₁=3,　　　　　　　　　　

∴b_n=2n+1，　　　　　　　 ………………………………9分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

∴

=(

=

=　　　　　　　 ………………………………14分

17、(14分)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和组成数对(，并构成函数．

(Ⅰ)写出所有可能的数对(，并计算，且的概率；

(Ⅱ)求函数在区间[上是增函数的概率．

解: (Ⅰ)所有基本事件如下:

(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ，共有15个。………………………………4分

设事件“，且”为A,

则事件A包含的基本事件有8个,　　 ………………………………… 6分

所以P(A)=。　　　　　 ……………………………………………8分

(Ⅱ)设事件“在区间上为增函数”为B,

因函数的图象的对称轴为 且>0，

所以要使事件B发生，只需。…………………………10分

由满足题意的数对有(1，-1)、(2，-1)、(2，1)、(3，-1)、(3，1)，共5个，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………12分

所以，P(B)= 　.　　　　　　　　　　 　…………………………14分

16、(13分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为的中点，为的中点．

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)证明：直线．

证明：(Ⅰ)∵ABCD是菱形，

　　 ∴BD^AC，　　 ………………………………1分

∵，∴BD^SA，　 ……………2分

∵SA与AC交于A,

∴BD^平面SAC, …………………………………4分

∵平面

∴平面平面　　　 …………………6分

(Ⅱ)取SB中点E，连接ME，CE，

∵M为SA中点，∴MEAB且ME=AB,　 ………8分

又∵是菱形，N为的中点，

∴CNAB且CN=CD=AB,　 …………………10分

∴CNEM,且CN=EM，

∴四边形CNME是平行四边形，

∴MNCE,　　　　　　　　 …………………12分

又MNË平面SBC, CEÌ平面SBC,

∴直线　　　 …………………13分

15、(12分)已知函数f(x)=(其中A>0,)的图象如图所示。

(Ⅰ)求A，w及j的值；

(Ⅱ)若tana=2,求的值。

解：(Ⅰ)由图知A=2,　　　　　　　 ……………………1分

T=2()=p,

∴w=2, 　　　　　　　　　　……………………3分

∴f(x)=2sin(2x+j)

又∵=2sin(+j)=2,

∴sin(+j)=1,

∴+j=,j=+,(kÎZ)

∵,∴j=　　　　　 ……………………6分

由(Ⅰ)知：f(x)=2sin(2x+)，

∴=2sin(2a+)=2cos2a=4cos²a-2…………9分

∵tana=2, ∴sina=2cosa,

又∵sin²a+cos²a=1, ∴cos²a=,

∴=　　　　　　 ……………………12分

9、1　 ；　 10、 ；　 11、x-2y-2=0　 ；　 12、 ；　 13、6　 ；　 14、 [-2,0]。

20、(13分)已知椭圆经过点，过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于两点，且，当四边形的面积S=时，求直线L的方程．

丰台区2010年高三统一练习(二)

数学(文科)

19、(14分)已知函数f(x)=在x=-2处有极值.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围.

18、(14分)已知数列的前n项和为，，,等差数列中 ，且，又、、成等比数列.

(Ⅰ)求数列、的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前n项和T_n.